Czy nieznany przedmiot może być jednorodnym dyskiem?
Na tej samej platformie skrętnej zmierzono: T₀ = 0,80 s dla pustej platformy, Tr = 1,20 s po dodaniu współosiowego wzorca o Ir = 0,00100 kg·m² oraz Tx = 1,60 s po zastąpieniu wzorca badanym przedmiotem. Badany cienki przedmiot ma masę 0,400 kg i zewnętrzny promień 0,100 m; jego środek masy leży na osi. Oblicz Ix i promień bezwładności kx. Sprawdź zgodność z modelem jednorodnego pełnego dysku. Przyjmij stałe κ oraz niepewności znacznie mniejsze od wykrywanej różnicy.
Pokaż rozwiązanieUkryj rozwiązanie
W tym zadaniu
Wskazówka
W ilorazie dwóch różnic T² znoszą się κ i wkład platformy. Dla jednorodnego dysku I = mR²/2. Niezgodność z dyskiem nie oznacza automatycznie, że przedmiot jest cienką obręczą.
Rozwiązanie
1. Izolujemy wkład dodanego przedmiotu
Różnice kwadratów okresów wynoszą Tr² − T₀² = 1,44 − 0,64 = 0,80 s² oraz Tx² − T₀² = 2,56 − 0,64 = 1,92 s². Stąd:
I_x=I_r\frac{T_x^2-T_0^2}{T_r^2-T_0^2}=0{,}00100\frac{1{,}92}{0{,}80}=0{,}002400\ \mathrm{kg\,m^2}.
Nie wolno pominąć T₀² w obu różnicach. Iloraz IrTx²/Tr² dałby wtedy około 0,001778 kg·m²: ani moment przedmiotu, ani moment całości. Tr opisuje platformę ze wzorcem, podczas gdy Ir jest momentem samego wzorca. Z poprawnej kalibracji otrzymujemy I₀ = IrT₀²/(Tr² − T₀²) = 0,000800 kg·m², więc platforma z przedmiotem ma I₀ + Ix = 0,003200 kg·m². Ponieważ pomiar jest współosiowy i C leży na osi, wyznaczony Ix jest także centralnym momentem przedmiotu dla tego kierunku osi.
2. Efektywna odległość masy od osi
k_x=\sqrt{\frac{I_x}{m}}=\sqrt{\frac{0{,}002400}{0{,}400}}\approx0{,}07746\ \mathrm m.
To około 7,75 cm, mniej niż zewnętrzny promień 10,0 cm. k nie wskazuje miejsca, w którym cała rzeczywista masa jest skupiona; odtwarza jej średnią kwadratową odległość od osi.
3. Test hipotezy jednorodnego dysku
I_d=\frac12mR^2=\frac12\cdot0{,}400\cdot0{,}100^2=0{,}002000\ \mathrm{kg\,m^2}.
Pomiar daje moment o 20% większy, dlatego przy założonych małych niepewnościach nie zgadza się z jednorodnym pełnym dyskiem. Masa jest średnio bardziej odsunięta od osi niż w tym modelu. Cienka obręcz na brzegu miałaby jednak I = mR² = 0,004000 kg·m², również inne niż zmierzone.
Sam jeden moment bezwładności nie odtwarza całego rozkładu masy: wiele różnych kształtów lub rozkładów gęstości da 0,002400 kg·m². W praktyce przed odrzuceniem modelu sprawdzamy współosiowość, mocowanie, stałość κ i niepewności. Tutaj ich mały wpływ jest jawnym założeniem zadania, a nie wnioskiem z równego wyglądu trzech pomiarów.
Powiązana teoria
Wahadło skrętne: wyznacz moment bezwładności z różnicy kwadratów okresów
Dalsza lektura
Platforma z dodatkowym przedmiotem
Najpierw przewiduj: Podwój moment bezwładności całego układu. Sprawdź, czy okres podwaja się, czy rośnie inaczej. Porównuj kwadraty okresów.
I₀ = 0,01 kg·m², I = 0,01 kg·m², κ = 0,1 N·m/rad: okres pustej platformy T₀ ≈ 1,987 s, okres z przedmiotem T ≈ 2,810 s.
Co oblicza model i gdzie kończą się jego założenia?
Moment sprężysty jest równy −κθ. Dla sztywnej platformy z przedmiotem T=2\pi\sqrt{\frac{I_0+I}{\kappa}},\qquad I=\frac{\kappa}{4\pi^2}(T^2-T_0^2). Wzór z różnicą kwadratów usuwa wkład platformy; iloraz samych okresów go nie usuwa.
Przedmiot obraca się razem z platformą wokół tej samej osi. Przyjmujemy liniowy moment sprężysty, amplitudę 10° i brak tłumienia. To odmienny model od wahadła poruszanego momentem siły ciężkości.
Najpierw spróbuj samodzielnie. Zapisz dane, wybierz prawa fizyczne i sprawdź jednostki. Przejdź do zadań ze sprawdzaniem odpowiedzi »
← Wróć do działu: Zadania Do góry ↑
Komentarze (0)
Nie ma jeszcze opublikowanych komentarzy. Rozpocznij rozmowę o tym materiale.
RSS komentarzy · Powiadomienia e-mail
Dodaj komentarz
Możesz komentować jako gość lub zalogować się, aby użyć danych konta. Utwórz konto