Mol ośrodków dwupoziomowych: energia i molowa pojemność cieplna

Rozwiązanie

Obsada górnego poziomu

Mamy x = ln 3, więc p = 1/(1 + 3) = 1/4. Temperatura wynosi około 109,23 K. Nie jest równa 120 K; ta druga liczba opisuje skalę różnicy energii Δ/k_B.

Energia mola

Jeden ośrodek ma średnio energię Δ/4. Dla jednego mola U = (1 mol) · N_AΔ/4 = R · 120 K · (1 mol)/4 = 30 R · K · mol, czyli około 249,43 J. R jest molową stałą gazową używaną tu wyłącznie jako N_Ak_B; nie zakładamy gazu doskonałego.

Pochodna, nie iloraz U/T

C_m=R(\ln3)^2\frac14\frac34=\frac{3R(\ln3)^2}{16}\approx1{,}88159\,\mathrm{J/(mol\cdot K)}.

Dla próbki jednomolowej C ma tę samą wartość liczbową, ale jednostkę J/K. Nie liczymy C jako U/T: energia nie jest tu liniową funkcją temperatury. Wzór na C dotyczy lokalnej zmiany U przy niezmienionym odstępie poziomów.

Granica wysokiej temperatury

Obsady dążą do 1/2 i 1/2. Średnia energia mola dąży do (1 mol) · N_AΔ/2 = 60 R · K · mol ≈ 498,87 J. To dwa razy więcej niż w podanej temperaturze. Nie dochodzi do (1 mol) · N_AΔ: w dodatniej temperaturze równowagowej wszystkie ośrodki nie zajmują górnego poziomu. Wartość (1 mol) · N_AΔ jest energią skrajnej konfiguracji, nie graniczną średnią dla T → ∞.

Powiązana teoria

Suma statystyczna: energia i pojemność cieplna układu dwupoziomowego

Dalsza lektura

Materiał referencyjny