Średnia z szybkości i pierwiastek ze średniej kwadratów

Rozwiązanie

1. Zwykła średnia szybkości

Dodajemy trzy wartości i dzielimy przez ich liczbę: (1 + 2 + 3)/3 = 2 m/s. Nie potrzeba tutaj żadnej masy ani temperatury, bo pracujemy bezpośrednio na podanej próbce.

2. Najpierw kwadraty, dopiero potem pierwiastek

Średni kwadrat wynosi (1² + 2² + 3²)/3 = 14/3 m²/s². Z niego wyciągamy pierwiastek. Odpowiedź: średnia szybkość 2 m/s, RMS = √(14/3) m/s ≈ 2,16 m/s. Pierwiastek z sumy szybkości byłby inną operacją i miałby niewłaściwą jednostkę.

3. Kierunki zmieniają średnią wektorową

Dla +1, −2 i +3 m/s średnia prędkość wzdłuż osi wynosi (1 − 2 + 3)/3 = +2/3 m/s. Nie jest ani średnią szybkością 2 m/s, ani RMS.

4. Odwracamy jeden ruch

Zmiana −2 na +2 daje średnią prędkość +2 m/s. Szybkości pozostają 1, 2 i 3, więc oba wcześniejsze wyniki się nie zmieniają. Te trzy cząstki służą do objaśnienia operacji matematycznych; nie są kompletnym rozkładem szybkości gazu w równowadze. W gazie bez przepływu wektorowe średnie mogą się znosić, podczas gdy średnia szybkość i RMS pozostają dodatnie.

Oddzielmy ruch średni od rozrzutu prędkości

Dla podpisanych prędkości +1, −2, +3 m/s średnia wynosi +2/3 m/s. Po odjęciu jej od każdej prędkości dostajemy +1/3, −8/3 i +7/3 m/s. Ich suma jest zero, a średni kwadrat wynosi 38/9 m²/s². Sprawdzenie pełnej próbki daje:

\langle v_x^2\rangle=\bar v_x^2+\langle(v_x-\bar v_x)^2\rangle=\frac49+\frac{38}{9}=\frac{14}{3}\ \mathrm{m^2/s^2}.

Po odwróceniu drugiej prędkości na +2 m/s średnia wynosi 2 m/s, a odchylenia −1, 0, +1 m/s mają średni kwadrat 2/3. Nadal 4 + 2/3 = 14/3. RMS w pierwotnym układzie pozostaje więc taka sama, ale część związana z ruchem średnim i część związana z rozrzutem zmieniają się. To matematyka próbki jednowymiarowej; sam ten rachunek nie czyni trzech cząstek gazem w równowadze ani termometrem.

Powiązana teoria

Temperatura a ruch cząsteczek: średnia szybkość nie jest szybkością RMS

Dalsza lektura

Materiał referencyjny