Obwód RC — zadanie: spadek napięcia i energii podczas rozładowania

Rozwiązanie

Wybierz rozładowanie, a nie ładowanie

Źródło zostało odłączone. Kondensator zaczyna od 12 V, a nie od zera, i oddaje energię opornikowi. Rozwiązanie u = U₀e^{-t/\tau} spełnia oba warunki: u(0) = 12 V oraz granicę u → 0 dla długiego czasu. Funkcja z 1 − e^{-t/\tau} rosłaby i opisywałaby inny proces.

Nie ma potrzeby znać znaku prądu, żeby znaleźć czas z ilorazu u/U₀. Dzielimy oba dodatnie napięcia, logarytmujemy i sprawdzamy, czy otrzymany czas jest dodatni. Potem osobno liczymy stosunek energii, wykorzystując kwadrat napięcia.

Spadek do 3 V

Stała czasowa wynosi τ = 10 000 · 47 · 10⁻⁶ = 0,47 s. Szukany czas spełnia:

\frac{3}{12}=e^{-t/\tau},\qquad t=\tau\ln4\approx0{,}652\ \mathrm{s}.

Stosunek energii wynosi E/E₀ = (u/U₀)² = (3/12)² = 1/16.

Odpowiedź: około 0,652 s; pozostanie 6,25% początkowej energii.

Pozostałe 93,75% energii zostało w tym modelu przekazane opornikowi i rozproszone. Czterokrotnie mniejsze napięcie nie oznacza czterokrotnie mniejszej energii, lecz szesnastokrotnie mniejszą. Źródło jest odłączone, więc nie trzeba uwzględniać dodatkowego dopływu energii.

Połowa energii następuje wcześniej

Warunek E/E₀ = 1/2 daje (u/U₀)² = 1/2, czyli u = 12/√2 ≈ 8,49 V. Z zależności E/E₀ = e^{-2t/\tau} wynika t = (τ/2) ln 2 ≈ 0,1629 s. To wyraźnie mniej niż 0,652 s potrzebne do pozostawienia 6,25% energii.

Możemy sprawdzić wartości bezwzględne: E₀ = 47 · 10⁻⁶ · 12²/2 = 3,384 mJ. Przy 3 V pozostaje 0,2115 mJ, dokładnie jedna szesnasta. Liczenie samej proporcji napięć jako proporcji energii dałoby błędne 25%.

Kontrola energii przez całkowanie mocy

Moduł prądu rozładowania wynosi |i|=(U₀/R)e^−t/τ. Moc oddawana opornikowi to Ri²=(U₀²/R)e^−2t/τ. Po scałkowaniu od 0 do wybranej chwili otrzymujemy Q_R(t)=CU₀²(1−e^−2t/τ)/2. To niezależne sprawdzenie różnicy energii pola.

Dla chwili, w której u=3 V, czynnik wykładniczy energii wynosi 1/16. W oporniku wydzieliło się więc (15/16)·3,384 mJ=3,1725 mJ. Na wykresie zielona krzywa pokazuje energię pozostałą w kondensatorze, a nie ciepło już oddane; znormalizowane ciepło to jeden minus ta krzywa. Przy połowie energii napięcie wynosi 1/√2 wartości początkowej, co odpowiada wyższemu punktowi na niebieskiej krzywej.

Powiązana teoria

Obwód RC. Równanie różniczkowe i stała czasowa

Dalsza lektura

Materiał referencyjny