Obwód RC. Równanie różniczkowe i stała czasowa

Potrzebne wiadomości: Prawo Kirchhoffa, pojemność kondensatora, pochodna i funkcja wykładnicza.

Od bilansu napięć do równania

Idealne źródło stałego napięcia ε łączymy szeregowo z opornikiem R i kondensatorem C. Niech u oznacza napięcie kondensatora, a i dodatni prąd jego ładowania. Ponieważ q = Cu i i = dq/dt, dla stałego C mamy i = C du/dt. Prawo Kirchhoffa daje:

Ri+u=\varepsilon,\qquad RC\frac{du}{dt}+u=\varepsilon.

Dla początkowo rozładowanego kondensatora, u(0) = 0, rozwiązanie wynosi:

u(t)=\varepsilon(1-e^{-t/\tau}),\qquad i(t)=\frac{\varepsilon}{R}e^{-t/\tau},\qquad \tau=RC.

Iloczyn RC ma jednostkę sekundy. Można to sprawdzić z Ω·F = (V/A)(C/V) = C/A = s. τ nie jest czasem pełnego naładowania: po jednej stałej czasowej napięcie osiąga około 63,2% wartości końcowej. W modelu wykładniczym dochodzenie do ε jest asymptotyczne.

Warunki początkowe i końcowe

W chwili 0⁺ napięcie kondensatora nadal wynosi zero, a prąd ε/R. Dla czasu dążącego do nieskończoności napięcie zbliża się do ε i prąd do zera. Te granice pozwalają odróżnić poprawne rozwiązanie od funkcji opisującej rozładowanie.

Po odłączeniu źródła i zamknięciu drogi rozładowania przez R kondensator o początkowym napięciu U₀ spełnia RC du/dt + u = 0. Energia pola elektrycznego wynosi E = Cu²/2. Otrzymujemy:

u(t)=U_0e^{-t/\tau},\qquad E(t)=E_0e^{-2t/\tau}.

Energia maleje więc szybciej niż samo napięcie. W obu wykładnikach cały iloraz czasu i stałej czasowej jest bezwymiarowy.

Przykład

Dla R = 1000 Ω i C = 100 μF stała czasowa wynosi 0,10 s. Przy źródle 5 V po 0,10 s napięcie osiągnie około 3,16 V, a prąd spadnie z początkowych 5 mA do około 1,84 mA.

Rozpatrujemy elementy liniowe o stałych parametrach, bez prądów upływu i dodatkowych oporów źródła. Rzeczywisty przebieg może się od nich różnić. Napięcie idealnego kondensatora nie może skoczyć bez impulsu prądu; skończony opór w tym obwodzie wyklucza taki impuls.

Zadania do tego tematu

• Obwód RC — zadanie: napięcie i prąd po jednej stałej czasowej
• Obwód RC — zadanie: spadek napięcia i energii podczas rozładowania

Dalsza lektura

Materiał referencyjny