Obwód RC — zadanie: napięcie i prąd po jednej stałej czasowej

Rozwiązanie

Sprawdź warunek początkowy

Kondensator jest rozładowany, więc u(0) = 0. Napięcie nie skacze przy skończonym oporze. Początkowo całe 10 V występuje na oporniku i prąd wynosi 10/2000 = 5 mA. W miarę ładowania napięcie kondensatora rośnie, a spadek napięcia na oporniku i prąd maleją.

Zamieniamy kiloomy na omy i mikrofarady na farady przed mnożeniem RC. Rozpatrywany czas porównujemy z τ: dzięki temu wykładnik jest liczbą bez jednostki. Napięcia i prądu nie trzeba zapamiętywać jako niezależnych wzorów, bo i = (ε − u)/R.

Po jednej stałej czasowej

Stała czasowa wynosi τ = RC = 2000 · 100 · 10⁻⁶ = 0,20 s. Rozpatrywany czas jest równy τ, zatem u = 10(1 − e⁻¹) ≈ 6,321 V.

Prąd wynosi i = (10/2000)e⁻¹ ≈ 0,001839 A.

Odpowiedź: 0,20 s, około 6,32 V i 1,84 mA.

Na oporniku pozostaje 10 − 6,321 = 3,679 V. Podzielenie tej wartości przez 2000 Ω ponownie daje około 1,84 mA. Kondensator nie jest jeszcze naładowany do napięcia źródła; jedna stała czasowa nie oznacza końca procesu.

Próg 90%

Warunek 0,90 = 1 − e^{-t/\tau} oznacza, że do wartości końcowej brakuje 10%. Stąd t = τ ln 10 ≈ 0,20 · 2,3026 = 0,4605 s. Napięcie kondensatora wynosi wtedy 9 V, na oporniku pozostaje 1 V i i = 1/2000 = 0,50 mA.

Kontrola przez prąd: jego wartość spadła do 10% początkowych 5 mA, bo właśnie taką część napięcia źródła zachował opornik. Wymaganie 99% dałoby t = τ ln 100, czyli dwukrotnie większy czas niż dla 90%, a nie czas większy tylko o 9%.

Każda następna stała czasowa dodaje mniej ładunku

W pierwszym przedziale τ=0,20 s kondensator gromadzi około C·6,321 V=632,1 µC. W drugim takim samym przedziale napięcie rośnie już tylko z 6,321 do 8,647 V, czyli przybywa około 232,5 µC. Iloraz tych przyrostów wynosi 1/e≈0,3679. To pozostała różnica napięć maleje w stałym stosunku; kondensator nie otrzymuje co τ jednakowej porcji ładunku.

Na wykresie napięcie podzielono przez ε=10 V, a prąd przez i₀=5 mA. Z równania Kirchhoffa po podzieleniu przez ε wynika u/ε+i/i₀=1. Taką sumę można sprawdzić dla dowolnego czasu. Nie jest to dodawanie woltów do amperów. Znaczniki τ i τ ln 10 wskazują różne pytania: naturalną skalę zaniku różnicy oraz konkretny próg 90%.

Powiązana teoria

Obwód RC. Równanie różniczkowe i stała czasowa

Dalsza lektura

Materiał referencyjny