Ile mocy i jaki błąd zostaje po zachowaniu trzech harmonicznych?

Rozwiązanie

1. Sumujemy trzy wkłady

Dla każdej sinusoidy średni kwadrat jest połową kwadratu amplitudy. Zatem:

\langle u_5^2\rangle=\frac{32}{\pi^2}\left(1+\frac19+\frac1{25}\right)\,\mathrm{V}^2\approx3{,}73222\,\mathrm{V}^2.

Pełne napięcie ma średni kwadrat 4 V². Średnia moc na idealnym oporniku jest proporcjonalna do tej wielkości, więc zachowana część wynosi 3,73222/4 ≈ 0,933056, czyli 93,3056%. W mianowniku używamy pełnego średniego kwadratu, nie amplitudy 2 V.

2. Z różnicy kwadratów otrzymujemy błąd skuteczny

Błąd e(t) = u(t) − u₅(t) składa się z harmonicznych 7, 9 i dalszych nieparzystych. Są one ortogonalne do trzech zachowanych. Dlatego:

e_{sk}=\sqrt{4-3{,}73222}\,\mathrm{V}\approx0{,}51747\,\mathrm{V}.

W dokładnym rachunku zachowujemy więcej cyfr przed pierwiastkiem. Względny błąd skuteczny to e_sk/2 V ≈ 25,8736%. Nie jest równy brakującym 6,6944% mocy: jest pierwiastkiem z brakującego udziału średniego kwadratu.

3. Rozróżniamy błąd średni i punktowy

Przy t = 0 przybliżenie jest równe zero; po obu stronach skoku przebieg ma wartości zbliżające się do ±2 V. W pobliżu skoków pozostają oscylacje i przeregulowanie. Dodawanie harmonicznych może skupiać duży błąd w coraz węższym obszarze, zmniejszając jego całkę po okresie.

Wynik: średni kwadrat 3,73222 V², zachowana moc 93,3056%, błąd skuteczny około 0,51747 V. Udział mocy nie jest ograniczeniem błędu w każdej chwili ani gwarancją wiernego odtworzenia skoków.

Powiązana teoria

Ortogonalność i twierdzenie Parsevala: wartość skuteczna oraz moc

Dalsza lektura

Materiał referencyjny