Jedno prawo zamiast osobnych reguł dla jabłka i planety

Rozwiązanie

Wspólny jest sposób wyznaczania przyspieszenia

Prawo powszechnego ciążenia F=G\frac{Mm}{r^2} razem z zasadą dynamiki F = ma pozwala obliczyć a=\frac{GM}{r^2}. W obu sytuacjach trzeba wskazać masę przyciągającego ciała oraz odległość od jego środka. Wektor przyspieszenia jest skierowany ku temu środkowi w rozpatrywanym modelu.

Dla jabłka głównym centrum jest Ziemia, a dla planety rozważanej na orbicie wokół gwiazdy — gwiazda. To wspólne prawo nie oznacza identycznej liczbowej wartości siły. Masy, odległości oraz inne warunki mogą być zupełnie różne.

Blisko powierzchni używamy przybliżenia stałego g

Jeśli spadek h jest mały w porównaniu z promieniem Ziemi R, odległość od środka r = R + h zmienia się względnie niewiele. Wtedy GM/r² możemy przybliżyć stałym g. Przy pominięciu oporu powietrza i obrotu Ziemi dostajemy znany model spadku ze stałym przyspieszeniem. Nie jest to osobne prawo grawitacji: to uproszczenie tej samej zależności od r.

Orbita także jest ruchem z przyspieszeniem

Satelita z odpowiednią prędkością poprzeczną nie przestaje podlegać grawitacji. Jego tor zakrzywia się, gdy przyspieszenie zmienia kierunek prędkości. Dla małego satelity na orbicie kołowej v^2/r=GM/r^2, czyli v=\sqrt{GM/r}. Nie ma tu dodatkowej siły, która musiałaby równoważyć grawitację w inercjalnym opisie: niezerowa wypadkowa jest potrzebna do zakrzywiania toru.

To dwa alternatywne zestawy warunków początkowych dla tego samego pola. Czerwony odcinek wskazuje tor późniejszego spadku, a nie niezerową prędkość początkową. Rysunek pomija atmosferę i obrót centrum; nie przedstawia wszystkich możliwych trajektorii.

Dlaczego przewidywane tory nie muszą być takie same?

Równanie ruchu wymaga nie tylko prawa siły, lecz także położenia i prędkości początkowej. Wyobraźmy sobie dwa obiekty startujące w tym samym punkcie tego samego pola: jeden puszczamy bez prędkości poprzecznej, drugiemu ją nadajemy. Ich przyspieszenia w pierwszej chwili są takie same, a późniejsze tory mogą być różne. Zmieniliśmy warunek początkowy, nie prawo przyrody.

Znaczeniem połączenia zjawisk jest wspólne wyjaśnianie i przewidywanie za pomocą jednego oddziaływania i dynamiki. Nie trzeba osobnej reguły dla każdego przedmiotu, ale nadal trzeba ustalić warunki zadania. Zgodność jednego prawa z wieloma różnymi zjawiskami jest silniejszym sprawdzianem niż samo dopasowanie nazwy do jednego toru.

Powiązana teoria

Jak zmieniały się modele fizyki: uzupełnienie zamiast wyrzucenia wszystkiego

Dalsza lektura

Materiał referencyjny