Czy teoria względności unieważnia obliczenie ruchu roweru?

Rozwiązanie

Najpierw bezwymiarowy parametr

Porównujemy szybkość roweru z szybkością światła użytą jako skala opisu relatywistycznego: \beta=\frac vc=\frac{10\,\mathrm{m/s}} {3\cdot10^8\,\mathrm{m/s}} =\frac13\cdot10^{-7}\approx3{,}33\cdot10^{-8}. Jednostki m/s skracają się. Wynik nie ma jednostki i jest znacznie mniejszy od jedności. Przestawienie potęg nie może dać 3 · 10⁷: rower nie porusza się miliony razy szybciej od światła.

Co znaczy „mała poprawka”?

Dla pędu tej samej masy przy tej samej szybkości opis relatywistyczny daje p_{\mathrm{rel}}=\gamma mv, gdzie \gamma=(1-\beta^2)^{-1/2}. Klasyczny wynik to p_kl= mv. Przy małym β rozwinięcie daje \gamma\approx1+\frac12\beta^2. Tutaj \beta^2\approx1{,}11\cdot10^{-15}, więc γ różni się od 1 o około 5,56 · 10⁻¹⁶.

Względne zaniżenie pędu klasycznego, odniesione do relatywistycznego, wynosi dokładnie \varepsilon=1-\sqrt{1-\beta^2} =\frac{\beta^2}{1+\sqrt{1-\beta^2}} \approx5{,}56\cdot10^{-16}. Druga postać jest równoważna po pomnożeniu przez wyrażenie sprzężone. Unika odejmowania dwóch niemal równych liczb na kalkulatorze. Nie oznacza to, że każda wielkość fizyczna ma identyczny błąd względny; policzyliśmy konkretnie porównanie pędów.

Wybór modelu zależy także od pytania

W zwykłym szkolnym opisie ruchu roweru nie znamy prędkości, siły wiatru, oporów toczenia ani masy z dokładnością porównywalną z tak małą poprawką. Pomijanie szczególnej względności może być więc bardzo dobrym przybliżeniem. Nie wolno z tego wywnioskować, że można również pominąć tarcie, hamowanie albo nierówność drogi: są to inne efekty.

Odpowiedź: v/c≈3,33 · 10⁻⁸, dlatego klasyczny opis zwykłego ruchu roweru może być wystarczający. Teoria względności wyjaśnia granicę stosowania przybliżenia, zamiast kasować użyteczny wynik. Nie twierdzimy też, że mała szybkość rozwiązuje każdy problem fizyczny. Budowa atomów w materiale roweru wymaga innego opisu niż ruch jego środka masy.

Powiązana teoria

Jak zmieniały się modele fizyki: uzupełnienie zamiast wyrzucenia wszystkiego

Dalsza lektura

Materiał referencyjny