Punktowe źródło i wielkość cienia

Rozwiązanie

Wybierz wspólny wierzchołek trójkątów

Promienie wychodzą z jednego punktu. Trójkąt ograniczony krążkiem i większy trójkąt kończący się na ekranie mają wspólny wierzchołek w źródle. Dlatego porównujemy odległości 20 i 80 cm liczone właśnie od niego.

Stosunek wysokości jest równy stosunkowi tych odległości. Możemy liczyć promienie krążka i cienia albo całe średnice, byle po obu stronach użyć tej samej wielkości. Odległość ekran–krążek wynosi 60 cm, ale nie jest bokiem porównywanym z 20 cm w tym podobieństwie.

Oznaczmy średnicę krążka przez D = 4 cm, jego odległość od źródła przez a = 20 cm, a odległość ekranu od źródła przez b = 80 cm. Dwa podobne trójkąty dają:

\frac{D_c}{D}=\frac ba\quad\Longrightarrow\quad D_c=D\frac ba=4\ \mathrm{cm}\cdot\frac{80\ \mathrm{cm}}{20\ \mathrm{cm}}=16\ \mathrm{cm}.

Iloraz b/a jest bezwymiarowym powiększeniem. W dodatkowej próbie a′ = 40 cm, a b i D pozostają te same:

D'_c=4\ \mathrm{cm}\cdot\frac{80\ \mathrm{cm}}{40\ \mathrm{cm}}=8\ \mathrm{cm}.

Nie używamy w pierwszym ilorazie odległości ekran–krążek równej 60 cm. Jej początek leży w innym miejscu niż wspólny wierzchołek podobnych trójkątów. Zaznaczenie źródła jako początku obu odcinków jest ważniejsze niż zapamiętanie samej proporcji.

Początkowy cień

Średnica cienia wynosi 4·80/20=16 cm. Współczynnik powiększenia dotyczy odległości od źródła, nie odległości ekran–krążek. Przy rozciągłym źródle trzeba byłoby dodatkowo opisać półcień.

Krążek dalej od źródła

Nowy stosunek wynosi 80/40=2, więc średnica cienia to 8 cm. Krążek zasłania mniejszy kąt widziany ze źródła i na tym samym ekranie daje mniejszy cień.

Kontrola graniczna: gdyby krążek niemal dotykał ekranu, stosunek odległości zbliżyłby się do 1, a średnica cienia do 4 cm. Wynik powinien zachowywać się w tę stronę. Model ostrej granicy dotyczy punktowego źródła i pominiętej dyfrakcji.

Powiązana teoria

Barwy, rozszczepienie, cień i półcień

Dalsza lektura

Materiał referencyjny