Zadanie 2 - Mechanika relatywistyczna - prędkość względna cząstek

a) Cząstki poruszają się naprzeciw siebie

Względna prędkość oznacza tutaj prędkość drugiej cząstki mierzoną w układzie spoczynkowym pierwszej. Nie jest to szybkość zmniejszania odległości odczytana w laboratorium. Ta ostatnia wynosiłaby 1,25c, lecz nie opisuje ruchu jednej cząstki względem jednego obserwatora.

Przyjmijmy, że pierwsza cząstka porusza się w laboratorium wzdłuż dodatniej osi x z V = 0,50c. W podpunkcie a) druga ma składową uₓ = −0,75c. Transformujemy prędkość do układu pierwszej cząstki:

u'_x=\frac{u_x-V}{1-u_xV/c^2}=\frac{-0{,}75c-0{,}50c}{1+0{,}375}=-\frac{10}{11}c.

Znak minus wskazuje zwrot. Szukana wartość prędkości wynosi v'_a=\frac{10}{11}c\approx0{,}909c. Otrzymaliśmy wynik mniejszy od c, mimo że laboratoryjna szybkość zbliżania jest większa od c.

b) Tory są prostopadłe w układzie laboratoryjnym

Teraz pierwsza cząstka nadal porusza się wzdłuż x, ale druga wzdłuż y. W laboratorium mamy więc uₓ = 0 oraz uᵧ = 0,75c. Nie wolno wstawić twierdzenia Pitagorasa do licznika wzoru z podpunktu a): przy zmianie układu inaczej przekształca się składowa równoległa, a inaczej prostopadła do V.

u'_x=\frac{u_x-V}{1-u_xV/c^2},\qquad u'_y=\frac{u_y\sqrt{1-V^2/c^2}}{1-u_xV/c^2}.

Ponieważ uₓ = 0, oba mianowniki są równe 1. Dostajemy:

u'_x=-\frac12c,\qquad u'_y=\frac34c\sqrt{1-\frac14}=\frac{3\sqrt3}{8}c.

Dopiero z tych dwóch składowych, mierzonych w tym samym nowym układzie, obliczamy wartość wektora:

v'_b=\sqrt{(u'_x)^2+(u'_y)^2}=c\sqrt{\frac14+\frac{27}{64}}=\frac{\sqrt{43}}8c\approx0{,}820c.

Sprawdzenie wyniku

W klasycznej transformacji składowa y nie zmieniłaby się, co dałoby \sqrt{0{,}50^2+0{,}75^2}\,c\approx0{,}901c. Dla tak dużych prędkości to przybliżenie nie wystarcza. Transformacja Lorentza zmniejsza tutaj poprzeczną składową do około 0,650c. Liczba ta jest składową y, a nie końcową wartością całej prędkości.

Możemy też sprawdzić wynik, zamieniając role cząstek. Wzór dla prostopadłych laboratoryjnych prędkości daje v_{\mathrm{wzgl}}^2=v_1^2+v_2^2-\frac{v_1^2v_2^2}{c^2}, czyli w obu przypadkach \frac{43}{64}c^2. Obie cząstki przypisują sobie tę samą wartość względnej prędkości.