Prawo Ampère’a — zadanie: maksimum pola przed powierzchnią przewodu

Rozwiązanie

1. Całkowity prąd ustala J₀

I=2\pi J_0\int_0^a\left(1-\frac{s^2}{a^2}\right)s\,ds=\frac{\pi J_0a^2}{2}.

Zatem J₀ = 2I/(πa²) ≈ 9,55·10⁵ A/m². Gęstość na osi jest dwa razy większa od średniej po przekroju.

I_{\mathrm{wew}}(r)=I\left[2\left(\frac ra\right)^2-\left(\frac ra\right)^4\right].

2. Bezwymiarowy zapis pola

Niech x = r/a i B_a = μ₀I/(2πa) = 0,600 mT. Po podzieleniu przez obwód:

\frac B{B_a}=2x-x^3\quad(0\le x\le1),\qquad\frac B{B_a}=\frac1x\quad(x\ge1).

Gałęzie dają tę samą wartość przy x = 1. Na zewnątrz pole maleje, ale wewnątrz trzeba sprawdzić pochodną.

3. Maksimum wewnętrzne

\frac{d(B/B_a)}{dx}=2-3x^2=0,\quad x_{\max}=\sqrt{\frac23}\approx0{,}8165.

Położenie wynosi r_max ≈ 1,633 mm. Pochodna zmienia znak z dodatniego na ujemny, co potwierdza maksimum.

\frac{B_{\max}}{B_a}=\frac43\sqrt{\frac23}\approx1{,}08866,\quad B_{\max}\approx0{,}6532\ \mathrm{mT}.

Maksimum przekracza pole powierzchniowe o około 8,87%. Przyrost zamkniętego prądu pod koniec przekroju przestaje nadążać za przyrostem obwodu. Teza o maksimum zawsze na powierzchni obowiązywała dla równomiernego J; nie jest ogólną własnością każdego przewodnika.

Powiązana teoria

Prawo Ampère’a: pole wewnątrz przewodnika i kabla koncentrycznego

Dalsza lektura

Materiał referencyjny