Zwojnica — zadanie: liczba zwojów na metr

Rozwiązanie

Najpierw gęstość zwojów

W jednym metrze tak samo gęsto nawiniętej zwojnicy zmieściłoby się dwa razy więcej zwojów niż w podanym półmetrze. Stąd n musi być większe od liczbowego N. Jednostka m⁻¹ przypomina, że do wzoru wstawiamy liczbę zwojów na długość, nie samą liczbę zwojów.

Powietrzny rdzeń i punkt daleko od końców pozwalają użyć podanego modelu. Nie podstawiamy dodatkowej przenikalności ferromagnetyka.

Obliczenia i odpowiedź

Liczba zwojów na jednostkę długości wynosi n = 1000/0,50 = 2000 m⁻¹. Stąd B = 4π · 10⁻⁷ · 2000 · 0,20 ≈ 5,03 · 10⁻⁴ T.

Odpowiedź: około 0,503 mT.

Podstawienie 1000 zamiast 2000 w miejscu n dałoby połowę poprawnej wartości oraz nieodpowiednie rozumienie jednostki. Gdyby tę samą liczbę zwojów rozsunąć na dwukrotnie większą długość, indukcja w modelu długiej zwojnicy zmalałaby dwukrotnie. Rachunek nie obejmuje rdzenia ani niejednorodności przy końcach.

Zmiana jednego parametru

Gdyby prąd wzrósł do 0,40 A przy tej samej geometrii, model dawałby około 1,005 mT. Gdyby zamiast tego wydłużyć zwojnicę do 1 m przy zachowaniu 1000 zwojów i prądu 0,20 A, indukcja spadłaby do około 0,251 mT. Nie łączymy obu zmian, jeśli zadanie poleca zmienić tylko jedną wielkość.

Obliczenia z jednostkami

Gęstość zwojów n=N/l=1000/(0{,}50\,\mathrm m)=2000\,\mathrm{m^{-1}}. W modelu długiej zwojnicy B=\mu_0nI=4\pi\cdot10^{-7}\cdot2000\cdot0{,}20\,\mathrm T\approx5{,}03\cdot10^{-4}\,\mathrm T. To około 0,503 mT. Nie należy używać samego N zamiast N/l.

Liczba zwojów, długość i prąd to trzy różne decyzje

Porównaj cztery ustawienia. W pierwszym zachowujemy dane zadania. W drugim podwajamy jedynie prąd i pole rośnie dwukrotnie. W trzecim zachowujemy 1000 zwojów, ale rozciągamy je na 1 m: pole maleje o połowę. W czwartym jednocześnie podwajamy liczbę zwojów i długość. Gęstość n się wtedy nie zmienia, więc pole wraca do wartości początkowej. Samo hasło „więcej zwojów” nie rozstrzyga wyniku.

Projektujemy teraz w tym modelu pole 1,00 mT przy prądzie 0,20 A i długości 0,50 m. Potrzebna liczba zwojów wynosi N=Bl/(μ₀I)≈1989,4. Zwoje są całkowite, więc 1990 da około 1,0003 mT w przyjętym modelu. Nie przypisujemy temu rachunkowi takiej dokładności w rzeczywistym krótkim uzwojeniu: pominięte efekty końców mogą mieć większe znaczenie niż wybór jednego zwoju.

Powiązana teoria

Pole magnetyczne prostego przewodu i długiej zwojnicy

Dalsza lektura

Materiał referencyjny