Pole przewodu — zadanie: zależność od odległości

Rozwiązanie

Ta sama odległość od całej osi

Wzór dla długiego przewodu wykorzystuje odległość prostopadłą do jego osi. W obu punktach prąd i ośrodek są te same, zmienia się tylko r. Zamieniamy 2 cm na 0,020 m i 4 cm na 0,040 m. Następnie możemy policzyć pierwszą wartość, a drugą uzyskać z proporcji.

W czynniku μ₀/(2π) skracają się π i część współczynnika liczbowego. Zostaje 2 · 10⁻⁷ T·m/A; warto wykonać to uproszczenie przed podstawieniem reszty danych.

Obliczenia i odpowiedź

Dla r₁ = 0,020 m otrzymujemy B₁ = μ₀I/(2πr₁) = 4π · 10⁻⁷ · 5/(2π · 0,020) = 5,0 · 10⁻⁵ T.

Druga odległość jest dwukrotnie większa, więc B₂ = B₁/2 = 2,5 · 10⁻⁵ T.

Odpowiedź: 50 μT w odległości 2 cm i 25 μT w odległości 4 cm.

Symbol μ oznacza milionową część tesli. Nie należy stosować zależności odwrotnej do kwadratu odległości znanej z pola ładunku punktowego; geometria źródła jest tu inna. Wyniki dotyczą zewnętrznego pola długiego przewodu, bez wpływu jego końców.

Wektory w różnych punktach

Porównaliśmy wartości pola. Dwa punkty leżące po przeciwnych stronach przewodu, choćby w tej samej odległości, mają przeciwne zwroty B. Podanie samych 50 μT nie ustala zatem kierunku wektora bez informacji o położeniu punktu i zwrocie prądu. Rysunek pokazuje przekrój z prądem wychodzącym z kartki oraz styczne strzałki pola.

Podstawienie i proporcja

B_1=\frac{\mu_0 I}{2\pi r_1}=\frac{4\pi\cdot10^{-7}\cdot5}{2\pi\cdot0{,}020}\,\mathrm T=5\cdot10^{-5}\,\mathrm T. Dla odległości 0,040 m: B_2=B_1\frac{r_1}{r_2}=2{,}5\cdot10^{-5}\,\mathrm T. Dwukrotnie większa odległość daje dwukrotnie mniejsze B, nie czterokrotnie mniejsze.

Odczytuj iloczyn Br, nie równą różnicę B

Wyniki spełniają 50 µT·2 cm=25 µT·4 cm=100 µT·cm. Dzięki temu dla 3 cm przewidujemy około 33,3 µT, a nie arytmetyczną średnią 37,5 µT. Wykres jest hiperbolą: przesunięcie o kolejny centymetr nie powoduje zawsze takiego samego spadku pola.

Sprawdźmy odwrotne pytanie. Jak daleko trzeba się znaleźć, aby pole tego przewodu wynosiło 20 µT? Z zachowania Br dostajemy r=100/20 cm=5 cm. A jeśli prąd zwiększymy do 10 A? W każdym rozpatrywanym punkcie wartość B podwoi się, więc 20 µT uzyskamy dopiero w odległości 10 cm. Wszystkie te porównania zakładają, że nadal jesteśmy dostatecznie daleko od końców i że inne pola można pominąć.

Powiązana teoria

Pole magnetyczne prostego przewodu i długiej zwojnicy

Dalsza lektura

Materiał referencyjny