Dwa jednakowe stopnie RC z buforem i bez niego
Dwa dolnoprzepustowe stopnie mają R₁ = R₂ = 10,0 kΩ oraz C₁ = C₂ = 100 nF. Wejście zasila idealne źródło sinusoidalne o amplitudzie 3,00 V, końcowe wyjście jest nieobciążone. Porównaj bezpośrednie połączenie stopni z połączeniem rozdzielonym idealnym buforem. Oblicz amplitudę i fazę dla f = 1/(2πRC), a następnie częstotliwość, przy której amplituda całego filtru spada do 1/√2 poziomu pasma. Przyjmij stan ustalony.
Pokaż rozwiązanieUkryj rozwiązanie
W tym zadaniu
Wskazówka
Dla jednakowych elementów Hbez = 1/(1 − x² + j3x), a Hbuf = 1/(1 + jx)². Do znalezienia granicy wygodnie użyć kwadratu modułu i niewiadomej y = x².
Rozwiązanie
1. Porównanie przy granicy pojedynczego stopnia
Iloczyn RC = 0,00100 s, więc badana częstotliwość to około 159,155 Hz i x = 1. Mianowniki upraszczają się do czysto urojonych liczb:
H_{bez}=\frac1{j3}=-\frac j3,\qquad H_{buf}=\frac1{j2}=-\frac j2.
Amplituda bez bufora wynosi 3,00 V/3 = 1,00 V; z buforem 3,00 V/2 = 1,50 V. Faza w obu przypadkach wynosi −90°. Równość faz w tym jednym punkcie nie czyni całych odpowiedzi jednakowymi.
2. Granica układu bez bufora
Niskoczęstotliwościowy poziom obu całych układów wynosi 1. Dla połączenia bezpośredniego:
|H_{bez}|^2=\frac1{(1-x^2)^2+9x^2}=\frac1{1+7x^2+x^4}.
Przy granicy kwadrat modułu ma wynosić 1/2. Zatem x⁴ + 7x² − 1 = 0. Podstawiamy y = x² ≥ 0, rozwiązujemy y² + 7y − 1 = 0 i zachowujemy dodatni pierwiastek:
x_{g,bez}=\sqrt{\frac{-7+\sqrt{53}}2}\approx0{,}374239,\qquad f_{g,bez}\approx59{,}562\,\mathrm{Hz}.
3. Granica dwóch stopni rozdzielonych buforem
Dla niezależnych stopni moduły się mnożą, więc |Hbuf| = 1/(1 + x²). Równanie 1/(1 + x²) = 1/√2 prowadzi do x² = √2 − 1:
x_{g,buf}=\sqrt{\sqrt2-1}\approx0{,}643594,\qquad f_{g,buf}\approx102{,}431\,\mathrm{Hz}.
Obie granice są niższe od 159,155 Hz pojedynczego stopnia. Przy x = 1 cały układ jest już tłumiony silniej niż o 3,0103 dB. Pomnożenie dwóch odpowiedzi nieobciążonych stopni w wariancie bez bufora zawyżyłoby amplitudę i dało błędną granicę pasma.
Wynik: przy 159,155 Hz amplitudy wynoszą 1,00 V i 1,50 V, obie fazy −90°. Granice całych filtrów wynoszą odpowiednio 59,562 Hz i 102,431 Hz.
Powiązana teoria
Obciążenie i kaskada RC: dlaczego dwa filtry zmieniają się po połączeniu
Dalsza lektura
Sprawdź wpływ następnego stopnia
Najpierw przewiduj: Porównaj kaskadę z buforem i bez bufora przy f = f₀. Potem zwiększ opór drugiego stopnia, jednocześnie zmniejszając jego pojemność.
R₁ = 10 kΩ i C₁ = 0,1 µF dają RC = 0,001 s oraz f₀ ≈ 159,155 Hz. Przy tej częstotliwości pojedynczy nieobciążony filtr ma |H| ≈ 0,707; kaskada jednakowych stopni bez bufora ma |H| = 1/3.
Co oblicza model i gdzie kończą się jego założenia?
Wykres przedstawia amplitudę napięcia, dlatego G_{\rm dB}=20\log_{10}|H|. f₀ = 1/(2πR₁C₁) jest częstotliwością odniesienia pojedynczego nieobciążonego stopnia. W układzie obciążonym lub w kaskadzie nie musi być częstotliwością graniczną całego układu. Amplituda wejścia wynosi 5 V, a nie 5 V wartości skutecznej.
Obciążenie RL jest równoległe do kondensatora wyjściowego. Zmniejsza wzmocnienie stałoprądowe do RL/(R₁ + RL). W kaskadach R₂ = kR₁ oraz C₂ = C₁/k, więc oba izolowane stopnie mają tę samą stałą RC. Bez bufora człon R₁C₂ pozostaje w mianowniku transmitancji i obniża amplitudę względem kaskady buforowanej.
Porównujemy sinusoidy w stanie ustalonym. Faza nie jest prędkością przesyłania informacji; wyprzedzenie fazowe w filtrze górnoprzepustowym nie oznacza reakcji na przyszłe zdarzenie. Pomijamy pasożytnicze elementy i tolerancje. Suwak czasu pokazuje t/T sinusoidy; odtwarzanie jest celowo spowolnione do jednego okresu na dwie sekundy.
Najpierw spróbuj samodzielnie. Zapisz dane, wybierz prawa fizyczne i sprawdź jednostki. Przejdź do zadań ze sprawdzaniem odpowiedzi »
← Wróć do działu: Zadania Do góry ↑
Komentarze (0)
Nie ma jeszcze opublikowanych komentarzy. Rozpocznij rozmowę o tym materiale.
RSS komentarzy · Powiadomienia e-mail
Dodaj komentarz
Możesz komentować jako gość lub zalogować się, aby użyć danych konta. Utwórz konto