Reynolds — zadanie: większa rurka unieważnia własną prognozę
W długim, rozwiniętym odcinku poziomej rurki przyjmij a₀ = 1,0 mm, L = 0,50 m, η = 0,0010 Pa·s, ρ = 1000 kg/m³ i Δp = 800 Pa. Pierwotny stan spełnia model laminarny. Nowa rurka ma trzykrotny promień i taką samą długość.
a) Oblicz pierwotne ū, Q i Re. b) Przy niezmienionym Δp wyznacz prognozę modelu Poiseuille’a dla nowej rurki i sprawdź jej Re. Czy można uznać przewidywane Q za wiarygodny rzeczywisty przepływ w typowych warunkach? c) Jakie Re uzyskalibyśmy w szerszej rurce, gdyby sterowanie zamiast Δp zachowało pierwotne Q?
Pokaż rozwiązanieUkryj rozwiązanie
W tym zadaniu
Wskazówka
Przy stałym Δp prędkość średnia rośnie jak a², Q jak a⁴, a Re jak a³. W części c) stały jest Q, więc średnia prędkość maleje jak 1/a² i Re maleje jak 1/a.
Rozwiązanie
1. Pierwotny stan
Promień wynosi 0,0010 m, a średnica 0,0020 m. Model daje:
\bar u_0=\frac{800\cdot10^{-6}}{8\cdot0{,}0010\cdot0{,}50}=0{,}200\ \mathrm{m/s},\qquad Q_0=\pi\cdot10^{-6}\cdot0{,}200\ \mathrm{m^3/s}\approx6{,}283\cdot10^{-7}\ \mathrm{m^3/s}=0{,}6283\ \mathrm{ml/s}.
\mathrm{Re}_0=\frac{1000\cdot0{,}200\cdot0{,}0020}{0{,}0010}=400.
Wynik jest zgodny z zadanym laminarnym stanem. Rozwinięcie profilu na odcinku pomiarowym zostało dodatkowo określone w treści.
2. Prognoza przy zachowaniu ciśnienia
Trzykrotny promień daje w modelu ū₁ = 9ū₀ = 1,80 m/s i Q₁ = 81Q₀ ≈ 50,894 ml/s. Nowa średnica jest trzy razy większa, więc:
\mathrm{Re}_1=9\cdot3\,\mathrm{Re}_0=27\cdot400=10800.
Wartość 50,894 ml/s jest kandydacką prognozą, a nie zaakceptowanym rzeczywistym przepływem. Jej własna kontrola daje Re znacznie powyżej zwykłego obszaru przejścia w rurze. W typowych zaburzonych warunkach założenie laminarności jest niewiarygodne. Należy użyć odpowiedniego modelu oporów albo wykonać pomiar. Nie poprawiamy wyniku dowolnym procentem, ponieważ nie podano danych do takiej korekty.
3. Inne wymuszenie daje odwrotny kierunek zmiany Re
Przy zachowanym Q₀ pole nowej rury rośnie dziewięciokrotnie, więc średnia prędkość maleje dziewięciokrotnie do około 0,02222 m/s. Wówczas:
\mathrm{Re}_2=\frac{3}{9}\,\mathrm{Re}_0=\frac{400}{3}\approx133{,}3.
To wynik zgodny z laminarnością. W rozwiniętym modelu wymagany spadek ciśnienia wyniósłby 800/81 ≈ 9,88 Pa, zamiast 800 Pa. Trzeba osobno zapewnić właściwe warunki wlotowe.
Zdanie „większa rurka zawsze zwiększa liczbę Reynoldsa” jest zatem niepełne. Zwiększa ją w prognozie przy stałym Δp, a zmniejsza przy stałym Q. Najpierw określamy, co utrzymuje źródło napędu.
Powiązana teoria
Liczba Reynoldsa i odcinek wlotowy: kiedy model laminarny wystarcza?
Dalsza lektura
Najpierw sprawdź, czy wolno użyć wzoru
Najpierw przewiduj: Zwiększaj różnicę ciśnień. Kiedy własna prognoza modelu przestanie spełniać warunki małej liczby Reynoldsa lub odpowiednio długiej rurki?
R = 1 mm, L = 1 m, η = 1 mPa·s, Δp = 100 Pa i ρ = 1000 kg/m³: Q ≈ 0,03927 ml/s, v średnia = 0,0125 m/s, Re = 25. Oszacowana długość wlotowa wynosi 0,0025 m.
Co oblicza model i gdzie kończą się jego założenia?
v(r)=\frac{\Delta p}{4\eta L}(R^2-r^2),\quad Q=\frac{\pi R^4\Delta p}{8\eta L}. Prędkość przy ściance jest zerowa, a średnia po przekroju równa połowie prędkości na osi. Przyjmujemy poziomą rurkę kołową, ciecz Newtonowską o stałej gęstości 1000 kg/m³ i lepkości, przepływ ustalony oraz w pełni rozwinięty.
Kontrola stosowalności korzysta z Re = ρvśr(2R)/η i oszacowania Lwlot ≈ 0,05 Re·2R. Przyjmujemy ostrożny warunek orientacyjny: Re < 2000 i Lwlot ≤ 0,1 L. Odcinek rozwijania profilu powinien zajmować niewielką część rurki, ponieważ powoduje dodatkowe straty ciśnienia. Ten próg nie oznacza błędu wyniku mniejszego niż 10% ani nie gwarantuje laminarności; zaburzenia i warunki wlotowe też mają znaczenie. Gdy próba nie przechodzi tej kontroli, ukrywamy profil jako niewiarygodną prognozę; Re jest wtedy tylko wartością wynikającą z testowanego modelu.
Najpierw spróbuj samodzielnie. Zapisz dane, wybierz prawa fizyczne i sprawdź jednostki. Przejdź do zadań ze sprawdzaniem odpowiedzi »
← Wróć do działu: Zadania Do góry ↑
Komentarze (0)
Nie ma jeszcze opublikowanych komentarzy. Rozpocznij rozmowę o tym materiale.
RSS komentarzy · Powiadomienia e-mail
Dodaj komentarz
Możesz komentować jako gość lub zalogować się, aby użyć danych konta. Utwórz konto