Trzykrotnie dalej od punktowego źródła fali

Rozwiązanie

Najpierw energia na powierzchni sfery

W każdej sekundzie przez większą sferę przechodzi ta sama energia, jeśli po drodze nie ma strat. Pole powierzchni rośnie jak r². Trzykrotnie większy promień daje dziewięciokrotnie większą powierzchnię, więc natężenie maleje dziewięciokrotnie.

Amplituda nie jest natężeniem. Przy niezmienionej częstotliwości i właściwościach ośrodka natężenie jest proporcjonalne do jej kwadratu. Zmiana amplitudy jest zatem pierwiastkiem ze zmiany natężenia.

Oznaczmy moc źródła przez P. Dla jednakowego promieniowania we wszystkich kierunkach, w obszarze rozchodzenia się fali kulistej, przechodzi ona przez sferę o polu 4πr². Stąd:

I(r)=\frac{P}{4\pi r^2},\qquad \frac{I(3r)}{I(r)}=\frac{r^2}{(3r)^2}=\frac19.

Jednostka P/pole powierzchni to W/m², czyli jednostka natężenia. Przy tych samych pozostałych parametrach I = C A² z tym samym dodatnim współczynnikiem C, więc dzielenie usuwa C:

\frac{A(3r)}{A(r)}=\sqrt{\frac{I(3r)}{I(r)}}=\frac13.

Na odległości 6r analogicznie otrzymujemy I(6r)/I(r) = 1/36 oraz A(6r)/A(r) = 1/6. Energia nie zniknęła: ta sama moc została rozłożona na większej powierzchni. Wniosek nie uwzględnia pochłaniania, odbić ani kierunkowości rzeczywistego głośnika.

Odległość 3r

Natężenie będzie I/9, amplituda A/3. Pole sfery rośnie jak r², a natężenie jak A². To dwa różne kroki rozumowania; stąd różne potęgi w odpowiedziach.

Jeszcze dwa razy dalej

Na odległości 6r mamy I/36 oraz A/6. Względem punktu 3r natężenie zmalało jeszcze czterokrotnie, a amplituda dwukrotnie. Sprawdzenie w dwóch etapach daje ten sam wynik co bezpośrednie porównanie z r.

W tym rozumowaniu nie zmieniły się prędkość ani częstotliwość fali. Maleją amplituda i natężenie wskutek geometrycznego rozłożenia energii. Dla fali prowadzonej w rurze albo silnie pochłanianej te założenia nie byłyby spełnione.

Powiązana teoria

Superpozycja fal: amplituda, różnica faz i dudnienia

Dalsza lektura

Materiał referencyjny