Trzykrotnie większe natężenie w mniejszym obszarze

Rozwiązanie

Porównuj ilorazy

Oba obszary są w próżni, więc w ilorazie gęstości energii czynnik ε₀/2 skraca się. Zostaje kwadrat ilorazu natężeń. Zwiększenie natężenia trzy razy daje dziewięć razy większą gęstość, niezależnie od rozpatrywanej objętości.

Dopiero teraz uwzględnij objętość

Energia jednorodnego pola jest iloczynem gęstości i objętości. W drugim obszarze objętość jest cztery razy mniejsza, więc iloraz energii wynosi 9·1/4. Mnożymy przez początkowe 8 μJ. Nie trzeba przeliczać mikrodżuli na dżule, jeśli cały rachunek końcowy wykonujemy w tej samej jednostce.

Błąd 3/4 zamiast 9/4 wynikałby z potraktowania energii jako liniowej funkcji E. Z kolei wynik dziewięć razy większy pomijałby zmianę objętości.

Wynik

Gęstość energii rośnie w stosunku u_2/u_1=(3E)^2/E^2=9. Energia zależy jeszcze od objętości, więc W_2/W_1=9/4. Otrzymujemy W_2=8\cdot9/4=18\ \mu\mathrm{J}.

Odpowiedź: gęstość jest dziewięć razy większa, a energia wynosi 18 μJ. Mniejsza objętość nie wystarcza tu do zmniejszenia energii, bo wzrost natężenia działa kwadratowo.

Kontrola i pytanie odwrotne

Druga energia jest większa od pierwszej, ponieważ dziewięciokrotny wzrost gęstości przeważa czterokrotne zmniejszenie objętości. Jaka objętość przy polu 3E zachowałaby energię 8 μJ? Musiałaby wynosić V/9. Gdyby objętość była V/4, ale energia miała pozostać taka sama, natężenie powinno wzrosnąć tylko do 2E. Oba warianty wynikają z tego samego iloczynu E²V i pomagają oddzielić zależność kwadratową od liniowej.

Powiązana teoria

Energia pola elektrycznego: ile energii mieści się w metrze sześciennym?

Dalsza lektura

Materiał referencyjny