Energia pola elektrycznego: ile energii mieści się w metrze sześciennym?

Potrzebne wiadomości: Natężenie pola, napięcie, pojemność kondensatora i objętość.

Energia podzielona przez objętość

W próżni gęstość energii pola elektrostatycznego jest równa u=\varepsilon_0E^2/2. Jednostką u jest J/m³. To nie to samo co potencjał, mierzony w J/C. Gdy natężenie jest jednakowe w objętości V, energia tej części pola wynosi W=uV. Przy niejednorodnym polu trzeba sumować energie małych obszarów: W=\int u\,dV.

Kontrola za pomocą kondensatora

Dla dużych równoległych okładek o polu S i odstępie d pomijamy efekt brzegowy. Wtedy E=U/d, C=\varepsilon_0S/d, a objętość pola to Sd. Otrzymujemy W=\varepsilon_0E^2Sd/2=CU^2/2. Oba sposoby opisu prowadzą do tej samej energii.

Przykładowo dla E=1000 V/m i objętości 2·10⁻⁴ m³, przy ε₀≈8,85·10⁻¹² F/m, mamy u≈4,43·10⁻⁶ J/m³ i W≈8,85·10⁻¹⁰ J. Kwadrat natężenia ma znaczenie: podwojenie E zwiększa gęstość energii czterokrotnie.

Co dokładnie utrzymujemy stałe?

Rozsuwając odłączone okładki, zachowujemy ładunek. W idealnym modelu E pozostaje stałe, a większa objętość oznacza większą energię pola. Wykonujemy pracę przeciw przyciąganiu. Przy podłączonym źródle stałe jest napięcie: wtedy E maleje i trzeba uwzględnić wymianę energii ze źródłem. Nie wolno przenosić wniosku z jednego doświadczenia na drugie. Wzór z ε₀ dotyczy próżni; ośrodek polaryzujący wymaga uwzględnienia jego własności.

Gęstość energii zależy od kwadratu pola, a całkowita energia także od objętości. Kliknij rysunek, aby go powiększyć.

Gdzie jest energia naładowanego kondensatora?

Ładując kondensator, wykonujemy pracę: przenosimy kolejne porcje ładunku, choć narastające napięcie coraz bardziej utrudnia ten proces. Możemy opisać zgromadzoną energię przez ładunek i napięcie okładek, ale możemy też przypisać ją polu elektrycznemu w przestrzeni między nimi. Te dwa opisy powinny zgadzać się dla tego samego układu i tych samych założeń.

Gęstość energii u mówi, ile energii przypada na jednostkę objętości. Podobnie gęstość masy mówi o kilogramach na metr sześcienny, lecz tu jednostką jest J/m³. Wzór u=ε₀E²/2 dotyczy pola w próżni. E jest wartością natężenia w danym miejscu; kwadrat sprawia, że gęstość energii nie zmienia znaku po odwróceniu kierunku pola.

Wyprowadzenie przez powolne ładowanie

Dla kondensatora o stałej pojemności napięcie przy zgromadzonym ładunku q wynosi q/C. Przeniesienie małego dodatkowego dq wymaga pracy dW=(q/C)dq. Całkując od zera do Q, otrzymujemy W=Q²/(2C). Ponieważ Q=CU, jest to również CU²/2 i QU/2. Czynnik 1/2 pochodzi z narastania napięcia podczas ładowania, nie z arbitralnej poprawki.

W płaskim kondensatorze, daleko od brzegów, E=U/d i C=ε₀S/d. Podstawienie daje W=ε₀E²Sd/2. Iloczyn Sd jest objętością między okładkami; dzieląc przez nią, dostajemy gęstość energii. Jeżeli pole jest nierównomierne, trzeba podzielić przestrzeń na małe objętości z ich lokalnymi wartościami E i zsumować wkłady. Jedna uśredniona wartość E nie zawsze odtworzy średnią kwadratu.

Przykład z kontrolą drugim sposobem

Przy E=2·10⁴ V/m, S=0,020 m² i d=0,0050 m gęstość wynosi 1,77·10⁻³ J/m³. Objętość 10⁻⁴ m³ daje W=1,77·10⁻⁷ J. Sprawdźmy przez okładki: napięcie U=Ed=100 V, a pojemność C=ε₀S/d=3,54·10⁻¹¹ F. Wyrażenie CU²/2 daje dokładnie tę samą energię.

Wartość natężenia podnosimy do kwadratu razem z potęgą dziesięciu: (2·10⁴)²=4·10⁸. Częsty błąd polega na pozostawieniu 10⁴. Równie ważne jest rozdzielenie J/m³ od J. Duża gęstość nie musi oznaczać dużej całkowitej energii, jeżeli rozpatrywana objętość jest mała.

Kontrast: trzy razy mocniejsze pole w mniejszej objętości

Jeśli drugie pole ma wartość 3E, jego gęstość energii jest dziewięć razy większa. Gdy zajmuje objętość V/4, całkowita energia rośnie 9/4 razy. Z początkowych 8 μJ powstaje 18 μJ. Porównanie ilorazów pozwala ominąć niepotrzebne podstawianie ε₀, bo ten sam czynnik występuje po obu stronach.

Co zmienia rozsuwanie okładek?

W odłączonym kondensatorze Q pozostaje stałe. Dla idealnych dużych płyt E=Q/(ε₀S) nie zmienia się z d, więc gęstość energii zostaje taka sama, a energia rośnie proporcjonalnie do objętości. Zewnętrzna praca przeciw przyciąganiu zasila pole. Przy stałym napięciu, wymuszanym przez podłączone źródło, E=U/d maleje, a W=ε₀SU²/(2d) maleje. Ładunek odpływa do źródła i bilans energii musi obejmować również źródło.

Nie można z drugiego przypadku wywnioskować, że rozsuwanie przyciągających się okładek wymaga ujemnej pracy zewnętrznej. To energia pola zmalała; pozostała wymiana zachodzi ze źródłem. Pominięcie źródła sprawia wrażenie sprzeczności z zasadą zachowania energii.

Sprawdź się

Pole zmieniono z +E na −E bez zmiany jego wartości. Gęstość energii jest taka sama, choć kierunek siły na dany dodatni ładunek się odwrócił. Pole zwiększono dwukrotnie tylko w połowie objętości, w drugiej pozostawiono E: energia całości wzrośnie (4+1)/2=2,5 razy. Użycie kwadratu średniego pola 1,5E dałoby 2,25 i byłoby błędne.

Zadania do tego tematu

• Energia jednorodnego pola między okładkami
• Trzykrotnie większe natężenie w mniejszym obszarze

Dalsza lektura

Materiał referencyjny