Klocek puszczony w górę równi bez dalszego pchania

Rozwiązanie

Nie ma strzałki od dawnego pchnięcia. Rysujemy oddziaływania działające teraz, podczas swobodnego wjazdu z tarciem. Kliknij rysunek, aby odczytać podpisy w pełnym rozmiarze.

Rozpatrujemy tylko etap jazdy w górę

Po puszczeniu nie ma już siły pchającej. Przy osi dodatniej w górę zarówno składowa ciężaru, jak i tarcie kinetyczne są ujemne. Podparcie ma wartość mg cos 30°. Równanie ruchu daje a = −g (sin 30°+μk cos 30°), a nie różnicę obu składników.

Przyspieszenie i czas

a=-10\left(\frac12+0{,}20\frac{\sqrt3}{2}\right)\approx-6{,}732\ \mathrm{m/s^2}.

Warunki i współczynnik są stałe, więc aż do zatrzymania możemy użyć v = v₀+at. Wstawienie v = 0 i v₀ = 4 m/s daje t = −v₀/a. Oba minusy znoszą się, zgodnie z dodatnim czasem. Jednostka (m/s)/(m/s²) jest sekundą.

Wynik i jego znaczenie

Wartość opóźnienia wynosi 10(0{,}5+0{,}20\cdot0{,}8660)\approx6{,}732 m/s². Czas do zatrzymania to t=4/6{,}732\approx0{,}594 s. Po zatrzymaniu model tarcia kinetycznego przestaje być właściwym warunkiem początkowym. Bez współczynnika statycznego nie wolno automatycznie przesądzać, czy klocek ruszy w dół.

Kontrola drogi i końca etapu

Droga do zatrzymania wyniosłaby v₀²/(2|a|)≈1,188 m wzdłuż równi. Średnia szybkość 2 m/s pomnożona przez 0,594 s daje ten sam wynik. Bez tarcia czas wyniósłby 4/5 = 0,80 s; tarcie skróciło go, co zgadza się z większym opóźnieniem. Po zatrzymaniu trzeba sprawdzić możliwość spoczynku: wymagany współczynnik statyczny wynosi co najmniej tan 30°≈0,577. Nie znamy μs, więc nie rozstrzygamy dalszego ruchu. Przedłużanie stałego ujemnego przyspieszenia poza t≈0,594 s utrzymałoby błędny zwrot tarcia po ewentualnym odwróceniu ruchu.

Co wiemy o maksymalnej wysokości?

Droga 1,188 m po równi 30° odpowiada przyrostowi wysokości około 0,594 m. Początkowa energia kinetyczna na kilogram masy to 8 J/kg, a przyrost potencjalnej około 5,94 J/kg. Pozostałe około 2,06 J/kg odpowiada pracy tarcia podczas wjazdu. Suma wraca do 8 J/kg. To dodatkowe sprawdzenie metodą energii. Wysokość nie jest równa drodze po desce: mnożymy drogę przez sinus kąta, ponieważ potrzebna jest jej pionowa składowa.

Powiązana teoria

Równia pochyła: składowe ciężaru i warunek rozpoczęcia poślizgu

Dalsza lektura

Materiał referencyjny