Siła potrzebna do równomiernego wciągania skrzynki po równi

Rozwiązanie

Tarcie i składowa ciężaru utrudniają wciąganie. Napięcie musi pokonać ich sumę, mimo że prędkość pozostaje stała. Kliknij rysunek, aby odczytać podpisy w pełnym rozmiarze.

Stała prędkość zeruje przyspieszenie

Oś dodatnią wybieramy w górę deski. Linka ciągnie w tym zwrocie, lecz ciężar wzdłuż równi i tarcie ślizgowe działają w dół. Linka jest równoległa do powierzchni, dlatego nie zmienia nacisku. N = mg cos 30° = 20√3 N. Składowa ciężaru wzdłuż powierzchni wynosi mg sin 30° = 20 N.

Wyznaczamy napięcie z równowagi

T-mg\sin30^\circ-\mu_kN=0,\qquad T=20+0{,}25\cdot20\sqrt3=20+5\sqrt3\ \mathrm N.

Obie siły przeszkadzające wciąganiu trzeba dodać co do wartości. Zero po prawej stronie nie oznacza, że linka nie pracuje; oznacza jedynie brak przyrostu prędkości. Praca linki równoważy wzrost energii potencjalnej i ubytek energii mechanicznej związany z tarciem.

Wynik i jego znaczenie

Nacisk wynosi N=40\cos30^\circ\approx34{,}64 N. Tarcie ma około 8,66 N, a składowa ciężaru wzdłuż równi 20 N. Napięcie musi równoważyć ich sumę: T=20+8{,}66=28{,}66 N. Odjęcie tarcia byłoby błędem, bo podczas wciągania tarcie i składowa ciężaru mają ten sam zwrot.

Sprawdzamy znaki i jednostki

Po podstawieniu T≈28,66 N bilans daje 28,66−20−8,66≈0. Każdy składnik jest siłą. Napięcie jest większe od 20 N potrzebnych na gładkiej równi, jak powinno przy dodatkowym oporze. Gdyby linkę skierować ukośnie ponad deskę, zmieniłoby się podparcie i nie wolno byłoby bez zmiany użyć tego wyniku. Gdyby skrzynka zsuwała się w dół, tarcie działałoby w górę i bilans miałby inny znak. W naszym zadaniu kierunek ruchu oraz ułożenie linki podano jednoznacznie, więc 28,66 N odnosi się właśnie do tego ustawienia.

Jaka praca linki przypada na metr wciągania?

Przy stałym napięciu 28,66 N i kierunku zgodnym z przesunięciem jeden metr wymaga około 28,66 J pracy linki. Z tego 20 J zwiększa energię potencjalną, a około 8,66 J odpowiada ujemnej pracy tarcia. Energia kinetyczna pozostaje stała. To niezależna kontrola znaków w równaniu: odjęcie tarcia od wymaganego napięcia dawałoby za mało pracy na równoczesne podnoszenie i pokonywanie oporu. Nie potrzebujemy czasu, dopóki nie pytamy o moc.

Powiązana teoria

Równia pochyła: składowe ciężaru i warunek rozpoczęcia poślizgu

Dalsza lektura

Materiał referencyjny