Współczynnik tarcia z progu ruszenia

Rozwiązanie

Co mierzy siłomierz przed ruszeniem klocka?

Siłomierz mierzy siłę, z jaką ciągniemy klocek. Gdy zwiększamy ją powoli, klocek przez pewien czas pozostaje nieruchomy: tarcie statyczne rośnie razem z siłą ciągnięcia. Dopiero tuż przed ruszeniem osiąga największą wartość dopuszczalną w tym modelu. W tym zadaniu tę granicę wyznacza odczyt 2,4 N. Nie używamy wskazania z chwili, w której klocek już się rozpędza.

Szukamy μₛ, czyli współczynnika tarcia statycznego. Literę μ czytamy „mi”, a indeks s oznacza tarcie bez poślizgu. Symbole F, Fₛ i N będą oznaczać wartości sił; ich zwroty uwzględnimy znakami w równaniach.

Najpierw pion, potem poziom

Na klocek działają w pionie siła ciężkości mg w dół oraz reakcja normalna stołu N w górę. „Normalna” oznacza prostopadłą do powierzchni. Klocek nie przyspiesza pionowo, a siłomierz ciągnie poziomo, więc N-mg=0. Stąd:

N=mg=0{,}80\ \mathrm{kg}\cdot10\ \mathrm{m/s^2}=8{,}0\ \mathrm{N}.

Nacisk klocka na stół ma również wartość 8,0 N, ale działa na stół, dlatego nie jest piątą siłą na tym rysunku. Litera N jako symbol reakcji i zapis N po liczbie jako jednostka niutona mają różne role.

Wybieramy poziomą oś dodatnią w prawo, zgodnie z ciągnięciem. Przed ruszeniem F-F_s=0. Tarcie statyczne Fₛ równoważy ciągnięcie i może rosnąć do F_{s,\max}=\mu_sN. Na granicy F_{\mathrm{gr}}=\mu_sN. Dzielimy obie strony przez dodatnie N:

\mu_s=\frac{F_{\mathrm{gr}}}{N}=\frac{2{,}4\ \mathrm{N}}{8{,}0\ \mathrm{N}}=0{,}30.

Odpowiedź: μₛ=0,30. Jednostki siły się skracają. Wynik nie oznacza „30% masy”; maksymalne tarcie w tym modelu jest równe 0,30 wartości reakcji normalnej.

Dlaczego słabsze pociągnięcie nie wyznacza współczynnika?

Przy sile ciągnięcia 1,6 N klocek nadal spoczywa. Do równowagi wystarcza wtedy tarcie 1,6 N, chociaż jego maksymalna wartość wynosi 2,4 N. Gdybyśmy znali tylko ten słabszy odczyt, moglibyśmy zapisać jedynie:

F_s=1{,}6\ \mathrm{N}\leq\mu_sN.

Dzieląc nierówność przez dodatnią wartość reakcji N=8{,}0\ \mathrm{N}, otrzymujemy:

\mu_s\geq\frac{1{,}6\ \mathrm{N}}{8{,}0\ \mathrm{N}}=0{,}20.

To dolna granica, a nie drugi wynik pomiaru współczynnika. Zarówno 0,20, jak i 0,30 spełnia tę nierówność. Dopiero pomiar na granicy ruszania pozwala wyznaczyć μₛ=0,30.

b) Dwukrotnie większa masa

Zakładamy tę samą parę powierzchni, niezmieniony współczynnik, poziome ciągnięcie oraz obciążenie, które nie zsuwa się ani nie powoduje przechylenia. Całkowita masa 1,60 kg daje N'=1{,}60\cdot10=16\ \mathrm{N}, zatem:

F'_{\mathrm{gr}}=\mu_sN'=0{,}30\cdot16\ \mathrm{N}=4{,}8\ \mathrm{N}.

Przewidywany próg 4,8 N jest wynikiem modelu do sprawdzenia, nie odczytem z rzeczywiście wykonanej drugiej próby. Dodatkową kontrolą rachunku jest proporcja: N wzrosło dwukrotnie, więc przy stałym μₛ próg też rośnie dwukrotnie.

c) Po ruszeniu potrzebujemy nowej informacji

Podczas ślizgania potrzebujemy współczynnika tarcia kinetycznego μₖ. Zadanie go nie podaje, więc z samego progu 2,4 N nie obliczymy tarcia po ruszeniu. Można je wyznaczyć w osobnej próbie: ciągnąć klocek poziomo ze stałą prędkością. Wtedy przyspieszenie jest równe zeru, zatem:

F-F_k=0,\qquad F=F_k=\mu_kN.

Ruch powolny nie musi być jednostajny. Jeżeli klocek przyspiesza w prawo, druga zasada dynamiki daje:

F-F_k=ma,\qquad F_k=F-ma.

Wskazanie siłomierza jest wówczas większe od tarcia o ma. Sam odczyt F, bez informacji o przyspieszeniu, nie wystarcza do wyznaczenia μₖ.

Jak zmierzyć próg bez szarpania?

Szarpnięcie może wywołać drgania siłomierza i krótkotrwały odczyt większy od spokojnie osiąganego progu. Drganie podłoża może z kolei uruchomić klocek wcześniej. Nie znamy kierunku ani wielkości poprawki bez obserwacji przebiegu próby. Ukośna linka dodatkowo zmienia N; nie wolno wtedy nadal wstawiać mg.

1. Wyzeruj siłomierz i ustaw linkę poziomo, aby nie unosić ani nie dociskać klocka.
2. Zwiększaj siłę powoli. Zanotuj największe wskazanie tuż przed pierwszym przesunięciem, a nie późniejszy odczyt podczas rozpędzania.
3. Powtórz próbę dla tej samej pary powierzchni. Zapisz odczyty, ich rozrzut i rozdzielczość siłomierza.

Dane zadania pozwalają otrzymać 0,30, ale nie podają niepewności pomiaru. Dopisanie „±0,01” bez dalszych danych byłoby zgadywaniem. Mały rozrzut nie wyklucza błędu, który powtarza się w każdej próbie, np. niewyzerowanego siłomierza.

Powiązana teoria

Pracownia: tarcie, zderzenia i obrót bez zgadywania wyniku

Dalsza lektura

Materiał referencyjny