Kąt graniczny dla spoczywającego klocka

Rozwiązanie

Szkic nachylenia jest schematyczny. Wartość kąta granicznego wynika z równania, a nie z mierzenia rysunku linijką. Kliknij rysunek, aby odczytać podpisy w pełnym rozmiarze.

Warunek spoczynku, a nie wzór na zjazd

Kąt zwiększamy stopniowo, więc szukamy granicy, do której tarcie statyczne może jeszcze utrzymać klocek. Wzdłuż równi ciężar ma składową mg sinα, a prostopadle mg cosα. Przy braku innych prostopadłych sił N = mg cosα. Tarcie potrzebne do równowagi wynosi mg sinα i działa w górę.

Na granicy obie wartości się zrównują

mg\sin\alpha=\mu_smg\cos\alpha,\qquad \tan\alpha=\mu_s=0{,}60.

Dzielimy przez dodatnie mg cosα, ponieważ rozpatrujemy kąt mniejszy niż 90°. Masa i przyspieszenie grawitacyjne skracają się. Funkcja odwrotna do tangensa daje kąt, a nie wartość 0,60°; kalkulator powinien pracować w stopniach albo wynik w radianach trzeba przeliczyć.

Wynik i jego znaczenie

Warunek graniczny daje \tan\alpha=0{,}60, więc \alpha\approx30{,}96^\circ. Masa nie wpływa na ten wynik, ponieważ skraca się w równaniu. Nie jest to ogólne stwierdzenie o wszystkich doświadczeniach z tarciem, lecz konsekwencja przyjętego modelu suchego tarcia i braku innych sił.

Kontrola i granice modelu

Dla otrzymanych 30,96° tangens jest bliski 0,60. Przy mniejszym kącie potrzebne tarcie jest mniejsze od granicy; przy większym statyczna równowaga staje się niemożliwa. Dwukrotne zwiększenie masy podwaja obie porównywane siły, dlatego nie zmienia kąta. To nie znaczy, że masa nigdy nie wpływa na doświadczenia z tarciem: zmiana deformacji albo dodatkowy niezależny docisk mogłaby zmienić model. Nie obliczamy przyspieszenia po ruszeniu, bo podany współczynnik jest statyczny. Na granicy model dopuszcza jeszcze stan równowagi granicznej; jednoznaczny brak spoczynku następuje po jej przekroczeniu.

Jak wygląda sprawdzenie dla dwóch pobliskich kątów?

Przy 30° tangens wynosi około 0,577, mniej niż 0,60, więc równowaga jest możliwa. Przy 32° tangens wynosi około 0,625, więcej niż 0,60, więc potrzebne tarcie przekracza granicę. Wynik 30,96° leży pomiędzy tymi kątami. To prosta kontrola ustawienia kalkulatora: przypadkowe odczytanie wyniku w radianach jako stopni dałoby około 0,54°, które nie pasowałoby do żadnego z tych porównań. Funkcja odwrotna daje kąt; współczynnik tarcia pozostaje bezwymiarowy.

Powiązana teoria

Równia pochyła: składowe ciężaru i warunek rozpoczęcia poślizgu

Dalsza lektura

Materiał referencyjny