Usuń sprężyny przy ścianach: skąd bierze się mod zerowy?

Rozwiązanie

Zmień równania skrajnych mas

Po usunięciu zamocowań nie podstawiamy fikcyjnych nieruchomych końców do starego wzoru. Poprawne równania to:

m\ddot x_1=K(x_2-x_1),\quad m\ddot x_2=K(x_1-2x_2+x_3),\quad m\ddot x_3=K(x_2-x_3).

Sprawdź trzy kształty

Dla (1; 1; 1) wszystkie różnice są zerowe, więc ω₀ = 0. Dla (1; 0; −1) siły są proporcjonalne do (−1; 0; 1), czyli są równe −K razy wektor wychyleń. Stąd ω₁² = K/m i ω₁ = 10 rad/s.

Dla (1; −2; 1) siły są proporcjonalne do (−3; 6; −3), czyli −3K razy wychylenia. Otrzymujemy ω₂² = 3K/m oraz ω₂ ≈ 17,321 rad/s. Nowe wartości różnią się od częstości łańcucha przy ścianach, mimo że same masy i wewnętrzne sprężyny pozostały te same.

Mod zerowy obejmuje ruch jednostajny

Jednakowe prędkości wzbudzają wyłącznie wspólne przesunięcie. Każda masa porusza się według x_j(t) = 0,10t, gdy t wyrażamy w sekundach, a x w metrach. Długości sprężyn nie zmieniają się, więc żadna nie tworzy siły. Środek masy przesuwa się jednostajnie, zgodnie z zerową siłą zewnętrzną.

Energia wynosi 3mv²/2 = 3·0,20·0,10²/2 = 0,0030 J i pozostaje kinetyczna. Dla ω = 0 nie piszemy samego A cos(ωt + φ), bo taki zapis zgubiłby rozwiązanie liniowe w czasie. Ogólna współrzędna tego modu ma postać q₀(t) = q₀(0) + q̇₀(0)t.

Powiązana teoria

Swobodne i mieszane końce łańcucha: drgania oraz ruch środka masy

Dalsza lektura

Materiał referencyjny