Pchnięcie środka swobodnego łańcucha: ile energii zostaje w translacji?

Rozwiązanie

1. Pęd ustala ruch środka masy

P = mV = 0,024 kg·m/s. Masa całkowita wynosi 3m = 0,60 kg, więc Ẋ = P/(3m) = V/3 = 0,040 m/s. Nie ma siły zewnętrznej, która zatrzymałaby ten wspólny ruch. Energia całkowita na starcie to mV²/2 = 1,44 mJ.

E_0=\frac{P^2}{2(3m)}=0{,}48\ \mathrm{mJ},\qquad E_{\mathrm{wew}}=1{,}44-0{,}48=0{,}96\ \mathrm{mJ}.

Jedna trzecia energii jest energią środka masy; dwie trzecie są energią drgań względem niego. Energia translacji nie będzie okresowo zamieniać się w sprężystą, ponieważ jednakowe przesunięcie nie odkształca sprężyn.

2. Wzbudzone są translacja i jeden mod drgań

Rzuty prędkości wynoszą q̇₀(0) = V/√3, q̇₁(0) = 0, q̇₂(0) = −2V/√6. Początkowe q są zerowe. Zatem q₀(t) = Vt/√3, q₁(t) = 0, a q₂(t) = −2V sin(Ωt)/(√6 Ω), gdzie Ω = √(3K/m) = 10√3 rad/s ≈ 17,321 rad/s. Niewzbudzony mod ma na środku węzeł i przeciwne wychylenia skrajnych mas.

3. Odtwórz ruch trzech mas

x_1(t)=x_3(t)=\frac V3t-\frac{V}{3\Omega}\sin(\Omega t),\qquad x_2(t)=\frac V3t+\frac{2V}{3\Omega}\sin(\Omega t).

Wychylenia są w metrach, jeśli V jest w m/s, Ω w rad/s i t w sekundach. Część wspólna Vt/3 odpowiada translacji; część sinusoidalna opisuje odkształcanie łańcucha.

4. Sprawdź start i środek masy

W chwili zero oba składniki wychyleń znikają. Pochodne dają v₁(0) = v₃(0) = V/3 − V/3 = 0 oraz v₂(0) = V/3 + 2V/3 = V. Dla późniejszego czasu v₁ = v₃ = V[1 − cos(Ωt)]/3 na ogół są niezerowe. Sprężyny przekazują siły także skrajnym masom.

Suma wychyleń wynosi Vt, więc X = (x₁ + x₂ + x₃)/3 = Vt/3, zgodnie z pędem. Współrzędne nie wracają po okresie 2π/Ω do początkowych wartości: względny kształt wraca, lecz środek masy zdążył się przesunąć.

Powiązana teoria

Swobodne i mieszane końce łańcucha: drgania oraz ruch środka masy

Dalsza lektura

Materiał referencyjny