Jedna ściana i trzy masy: sprawdź rzeczywisty warunek swobodnego końca

Rozwiązanie

1. Kwantowanie kształtu przez różne końce

Dla N = 3 kąty θ_r = (2r − 1)π/7 mają wartości π/7, 3π/7 i 5π/7. Stąd:

\omega_1=20\sin\frac\pi{14}\approx4{,}450\ \mathrm{rad/s},\quad\omega_2=20\sin\frac{3\pi}{14}\approx12{,}470\ \mathrm{rad/s},\quad\omega_3=20\sin\frac{5\pi}{14}\approx18{,}019\ \mathrm{rad/s}.

Wszystkie częstości są dodatnie. Jedna ściana wystarcza, aby wspólne przesunięcie całego łańcucha odkształcało sprężynę i przestało być swobodną translacją. Nie używamy tu listy dla dwóch ścian ani dla dwóch swobodnych końców.

2. Amplitudy najniższego modu

sin(π/7) ≈ 0,433884, sin(2π/7) ≈ 0,781831 i sin(3π/7) ≈ 0,974928. Mnożenie przez C = 0,020 m daje A₁ ≈ 0,008678 m, A₂ ≈ 0,015637 m i A₃ ≈ 0,019499 m. Wszystkie trzy wychylenia są w tej chwili dodatnie, lecz nie jednakowe.

3. Swobodny koniec nadal przyspiesza

Na ostatnią masę działa jedna sprężyna. Jej siła wynosi K(A₂ − A₃) = 20·0,020[sin(2π/7) − sin(3π/7)] ≈ −0,077239 N. Skierowana jest w lewo, czyli przeciwnie do dodatniego wychylenia ostatniej masy.

Sprawdzenie z ω₁ = 20 sin(π/14) daje −mω₁²A₃ ≈ −0,077239 N, tę samą wartość. Dodatkowo sin(4π/7) = sin(3π/7), więc pomocnicze A₄ jest równe A₃ i nie wnosi prawej siły.

Warunek A₃ = 0 unieruchomiłby trzecią masę i zmienił układ. Swobodny koniec oznacza brak prawego połączenia ze ścianą, a nie zakaz ruchu i nie zerową wypadkową siłę na masę.

Powiązana teoria

Swobodne i mieszane końce łańcucha: drgania oraz ruch środka masy

Dalsza lektura

Materiał referencyjny