Zadania przekrojowe: jedna sytuacja, kilka praw i sposobów zapisu

Potrzebne wiadomości: Podstawowe prawa mechaniki, energii, elektryczności i pomiarów.

Najpierw granice etapów, potem dobór wzorów

Zadanie przekrojowe nie wymaga użycia wszystkich poznanych równań. Wymaga ustalenia, które wielkości opisują ten sam etap, co przechodzi do następnego i gdzie zmienia się bilans. Wózek rozpędzany, jadący swobodnie i hamujący ma jedną historię ruchu, ale w każdej części działa inna wypadkowa siła.

Na początku zapisujemy dane z jednostkami, wybieramy zwrot osi i określamy układ. W tabeli etapów warto umieścić czas początku, prędkość wejściową, oddziaływania i warunek końca. Prędkość końcowa jednego etapu jest początkową następnego, o ile zadanie nie wprowadza osobnego impulsu.

Jeden przebieg, trzy odcinki

Wózek o masie 2 kg zaczyna od spoczynku. Przez 2 s działa na niego wypadkowa siła 4 N. Potem jedzie 3 s bez wypadkowej siły, a na końcu hamuje siłą 2 N przeciwną do ruchu. Pomijamy inne straty.

Najpierw a = 4/2 = 2 m/s², więc po 2 s prędkość wynosi 4 m/s, a droga ½·2·2² = 4 m. W środkowym etapie prędkość pozostaje 4 m/s i droga wynosi 12 m. Przy hamowaniu przyspieszenie jest równe −1 m/s²; zatrzymanie zajmuje 4 s, a droga wynosi 8 m. Łącznie otrzymujemy 9 s i 24 m.

Wykres sprawdza ten sam wynik inną drogą

Pole pod v(t) daje przemieszczenie. Dwa trójkąty i prostokąt mają pola 4 m, 12 m i 8 m. Wypadkowa droga 24 m zgadza się z rachunkiem etapów. Nachylenia wynoszą kolejno 2, 0 i −1 m/s². Wykres nie jest ozdobą: pozwala zobaczyć, czy prędkość na granicach etapów jest ciągła i czy użyliśmy właściwego czasu lokalnego.

W ostatnim odcinku można napisać v(t) = 4 m/s − (1 m/s²)(t − 5 s), jeżeli t jest liczone od początku całego ruchu. Zapis 4 − t bez odjęcia chwili początku hamowania opisywałby inny przebieg. Po t = 9 s model hamowania kończymy: nie przedłużamy go automatycznie do ruchu wstecz, skoro siła miała jedynie zatrzymać wózek.

Bilans energii daje trzeci sprawdzian

Praca pierwszej siły wynosi 4 N·4 m = 16 J. Energia ruchu przy 4 m/s jest równa ½·2 kg·(4 m/s)² = 16 J. Podczas hamowania praca wynosi −2 N·8 m = −16 J, więc końcowa energia kinetyczna jest zerowa. Całkowita praca wynosi zero mimo przebycia 24 m. Zerowa zmiana energii nie oznacza braku drogi.

Jeśli hamowanie realizuje tarcie, energia mechaniczna wózka maleje, a energia wewnętrzna odpowiedniego układu rośnie. Nie wolno w tym etapie narzucić zachowania samej energii mechanicznej. Zachowanie energii całkowitej wymaga uwzględnienia jej innych postaci oraz właściwej granicy układu.

Pole ze znakiem i długość drogi

Gdy ruch zmienia zwrot, sumowanie pól ze znakiem daje inną wielkość niż sumowanie ich wartości bezwzględnych. Dwie sekundy z v = 4 m/s, a potem dwie z v = −2 m/s dają przemieszczenie 8 − 4 = 4 m i drogę 8 + 4 = 12 m. To niezależny kontrast do wcześniejszego przykładu, w którym prędkość była zawsze nieujemna.

Kontrola jednostek i tego, o co pytano

W podnoszeniu jednostajnym moc użyteczna mgv łączy dynamikę z energią, a pobrana moc elektryczna UI wymaga uwzględnienia sprawności. W ogrzewaniu Pt = mcΔT obowiązuje dopiero po uzasadnieniu zaniedbania innych odbiorców energii. Sprawdzenie wymiaru nie dowodzi poprawności modelu, ale potrafi szybko wykryć pomylenie mocy z energią albo czasu całkowitego z czasem etapu. Odpowiedź kończymy wynikiem wraz z jednostką i warunkami jego uzyskania.

Zadania do tego tematu

• Rozpędzanie, jazda i hamowanie na jednym wykresie
• Silnik elektryczny podnosi ciężar z ograniczoną sprawnością
• Ciepło właściwe z elektrycznego ogrzewania i ocena modelu

Dalsza lektura

Materiał referencyjny