Superpozycja dwóch energii: co zmienia się w czasie, a co pozostaje stałe?

Potrzebne wiadomości: Stany własne nieskończonej studni, ortogonalność, liczby zespolone, całkowanie funkcji trygonometrycznych i średnia ważona.

Czynnik czasowy niesie fazę

Rozważamy tę samą nierelatywistyczną cząstkę w nieruchomej nieskończonej studni 0<x<L. Potencjał nie zależy od czasu, a układ nie oddziałuje z detektorem ani otoczeniem pomiędzy przygotowaniem i pomiarem. Równanie zależne od czasu ma postać iħ∂ψ/∂t=Ĥψ. Operator Ĥ, zwany hamiltonianem, opisuje całkowitą energię. Dla stanu własnego Ĥφₙ=Eₙφₙ rozwiązanie brzmi φₙ(x)exp(−iEₙt/ħ).

Funkcja exp(iθ)=cosθ+i sinθ ma moduł jeden. W pojedynczym stanie własnym faza czasowa znika przy obliczaniu |ψ|². Gdy dodamy dwa różne stany, ich fazy obracają się z różnymi częstościami. Wtedy istotna staje się różnica faz.

Norma i prawdopodobieństwa energii

Niech φ₁ i φ₂ będą znormalizowanymi, rzeczywistymi funkcjami dwóch najniższych stanów studni. Przygotujemy:

\psi(x,t)=c_1\varphi_1(x)e^{-iE_1t/\hbar}+c_2\varphi_2(x)e^{-iE_2t/\hbar}.

c₁ i c₂ są bezwymiarowymi amplitudami zespolonymi. Ortogonalność usuwa wyrazy mieszane z całki po całej studni, dlatego normalizacja wymaga |c₁|²+|c₂|²=1. Idealny pomiar energii da E₁ z prawdopodobieństwem |c₁|² albo E₂ z prawdopodobieństwem |c₂|². Te prawdopodobieństwa pozostają stałe podczas opisanej ewolucji.

Średnia energia wynosi ⟨E⟩=|c₁|²E₁+|c₂|²E₂. To średnia wyników wielu przygotowań i pomiarów. Dla równych udziałów otrzymamy (E₁+E₂)/2, ale pomiar na pojedynczej cząstce nie musi i w tym przykładzie nie może zwrócić tej średniej jako nowego poziomu energii.

Wyraz mieszany w rozkładzie położenia

Wybierzmy c₁=c₂=1/√2 i fazę początkową t=0. Po przemnożeniu ψ*ψ dostajemy:

\rho(x,t)=\frac{\varphi_1^2+\varphi_2^2}{2}+\varphi_1\varphi_2\cos\frac{(E_2-E_1)t}{\hbar}.

Pierwsze dwa składniki są stałe w czasie. Ostatni opisuje interferencję amplitud. Nie wolno go wyrzucić dlatego, że funkcje są ortogonalne: ich iloczyn nie znika punktowo. Znika jego całka po całej studni, dzięki czemu całkowite prawdopodobieństwo pozostaje równe jeden.

Przykład: jak często znajdziemy cząstkę po lewej?

Całkujemy gęstość od 0 do L/2. Każdy stan własny osobno ma tam prawdopodobieństwo 1/2, więc dwa pierwsze składniki łącznie dają 1/2. Dla iloczynu używamy tożsamości 2 sinα sinβ=cos(α−β)−cos(α+β):

\int_0^{L/2}\varphi_1\varphi_2\,dx=\int_0^{1/2}\bigl[\cos(\pi u)-\cos(3\pi u)\bigr]\,du=\frac{4}{3\pi}.

Zatem:

P_{\mathrm{lewa}}(t)=\frac12+\frac{4}{3\pi}\cos\frac{2\pi t}{\tau},\qquad \tau=\frac{2\pi\hbar}{E_2-E_1}=\frac{h}{E_2-E_1}.

τ oznacza okres zmian gęstości. Początkowo P≈0,92441, po ćwierci okresu P=0,5, a po połowie P≈0,07559. Wszystkie wartości mieszczą się między zerem a jednością. Wynik w prawej połowie to 1−P. Dla elektronu przy L=1,0 nm oraz E₁≈0,3760 eV różnica energii wynosi 1,128 eV, więc τ≈3,6664 fs. Femtosekunda to 10⁻¹⁵ s.

Superpozycja i losowanie stanu to różne przygotowania

Jeśli za każdym razem losujemy z równym prawdopodobieństwem sam stan φ₁ albo sam φ₂, powstaje mieszanina. Jej gęstość to (φ₁²+φ₂²)/2, bez wyrazu interferencyjnego. Statystyka energii jest taka sama jak dla równej superpozycji, ale pomiary położenia mogą je odróżnić. Aby otrzymać zmienną gęstość superpozycji w serii prób, trzeba zachować ustaloną względną fazę i liczyć czas od takiego samego przygotowania.

Uśrednienie superpozycji po losowej fazie również usuwa wyraz mieszany. Nie jest to dowód, że każda superpozycja „naprawdę była” losowaniem jednego z dwóch stanów. Zmieniliśmy sposób przygotowania lub dostępne informacje o fazie.

Sprawdź się: czy oscylujący rozkład automatycznie oznacza emisję fotonów? W tym modelu nie uwzględniono oddziaływania z polem elektromagnetycznym. Średnia energia i prawdopodobieństwa E₁ oraz E₂ są stałe. Emisja wymaga rozszerzenia modelu; sam ruch kształtu gęstości nie jest dowodem ubytku energii.

Zadania do tego tematu

• Zespolony współczynnik i wyniki pomiaru energii
• Zmiana prawdopodobieństwa bez zmiany rozkładu energii
• Superpozycja z plusem, z minusem i mieszanina

Dalsza lektura

Materiał referencyjny