Funkcja falowa: jak obliczyć prawdopodobieństwo położenia?

Potrzebne wiadomości: Liczby zespolone i ich moduł, całka oznaczona, proste wielomiany, podstawy rachunku prawdopodobieństwa.

Co opisuje funkcja falowa?

Ograniczymy się do jednej nierelatywistycznej cząstki poruszającej się wzdłuż osi x. Pomijamy spin. Jej stan czysty w wybranej chwili opisujemy zespoloną funkcją ψ(x). To opis stanu, z którego obliczamy statystykę pomiarów; nie jest to tor małej kulki ani wysokość materialnej fali. Przygotowanie wielu identycznych stanów pozwala sprawdzić przewidywania, nawet jeśli wynik pojedynczego pomiaru nie jest z góry wyznaczony.

Reguła Borna wiąże funkcję falową z pomiarem położenia:

\rho(x)=|\psi(x)|^2=\psi^*(x)\psi(x),\qquad P(a\leq x\leq b)=\int_a^b\rho(x)\,dx.

Gwiazdka oznacza sprzężenie zespolone: dla ψ=u+iv mamy ψ*=u−iv, więc ρ=u²+v². Nie wolno zastępować modułu kwadratem ψ²: ten ostatni może być zespolony albo ujemny. Wielkość ρ to gęstość prawdopodobieństwa położenia. Jej całka po przedziale jest liczbą od zera do jedności.

Dlaczego normalizujemy?

Cząstkę trzeba znaleźć gdzieś w całej dostępnej przestrzeni. Dla stanu znormalizowanego:

\int_{-\infty}^{\infty}|\psi(x)|^2\,dx=1.

Jeżeli znamy kształt f(x), a szukamy ψ=Af, obliczamy dodatnią, skończoną liczbę I=∫|f|²dx. Następnie wybieramy A=1/√I. Normalizacja ustala moduł A, ale pozostawia dowolną stałą fazę. Funkcje ψ, −ψ i iψ opisują ten sam stan. Faza zależna od położenia to inna sprawa: może zmienić wyniki pomiaru pędu, chociaż nie zmienia |ψ|² w tej chwili.

W jednym wymiarze dx ma jednostkę długości. Dlatego ρ ma jednostkę m⁻¹, a ψ — m^−1/2. Gęstość może być liczbowo większa od jedności: to nie prawdopodobieństwo pojedynczego wyniku. Zmiana metrów na nanometry zmienia jej wartość liczbową, lecz nie zmienia całki opisującej prawdopodobieństwo.

Przykład: stan skupiony bliżej środka przedziału

Przyjmijmy w pewnej chwili ψ(x)=Ax(L−x) dla 0≤x≤L oraz ψ=0 poza tym przedziałem. L oznacza długość, A wybieramy rzeczywiste i dodatnie. Funkcja zeruje się na końcach. Taki kształt może być stanem początkowym w idealnej studni o nieprzenikalnych ścianach; sama normalizacja nie dowodzi jeszcze, że jest to stan o jednej energii.

Kwadrat wielomianu całkujemy wyraz po wyrazie:

\int_0^L x^2(L-x)^2\,dx=\left[\frac{L^2x^3}{3}-\frac{Lx^4}{2}+\frac{x^5}{5}\right]_0^L=\frac{L^5}{30}.

Warunek A²L⁵/30=1 daje A=√30/L^5/2. Jednostka A wynosi m^−5/2, ponieważ po przemnożeniu przez x(L−x) funkcja ψ musi mieć jednostkę m^−1/2. Do dalszych rachunków wygodnie wprowadzić bezwymiarową zmienną u=x/L:

\rho(x)\,dx=30u^2(1-u)^2\,du,\qquad F(u)=10u^3-15u^4+6u^5.

F jest funkcją pierwotną gęstości zapisanej w zmiennej u. Prawdopodobieństwo dla środkowej połowy, od L/4 do 3L/4, wynosi F(3/4)−F(1/4)=203/256, czyli około 79,30%. Ta część zajmuje połowę długości, ale obejmuje znacznie więcej niż połowę prawdopodobieństwa, ponieważ gęstość jest tam większa.

Punkt nie jest przedziałem

Dla ciągłego rozkładu prawdopodobieństwo dokładnie jednego położenia jest równe zeru, nawet gdy gęstość jest tam największa. Nie oznacza to, że detektor nigdy nie zadziała. Rzeczywisty odczyt ma skończoną rozdzielczość: rejestruje przedział, dla którego całka może być dodatnia. Dla wąskiego przedziału szerokości Δx można użyć P≈ρ(x₀)Δx, jeżeli gęstość niewiele się w nim zmienia.

Średnia położenia to ⟨x⟩=∫xρ(x)dx. W naszym przykładzie symetria względem środka daje ⟨x⟩=L/2. To średnia wielu pomiarów na jednakowo przygotowanych cząstkach, a nie obietnica wyniku L/2 za każdym razem.

Co trzeba jeszcze sprawdzić?

Normalizacja odpowiada na pytanie, czy z danego kształtu można zbudować rozkład prawdopodobieństwa. Równanie Schrödingera i warunki brzegowe określają dopuszczalne stany oraz ich zmianę w czasie dla konkretnego układu. Znormalizowana funkcja nie musi być stanem stacjonarnym. Z kolei fala płaska o stałym module na całej osi nie daje skończonej całki; służy jako idealizowany składnik opisu, z którego można budować normalizowalne pakiety falowe.

Sprawdź się: czy pomnożenie znormalizowanej ψ przez 2 podwaja prawdopodobieństwo? Bez ponownej normalizacji całka wyniosłaby 4. Po podzieleniu nowej funkcji przez jej normę wracamy do tego samego stanu. Nie zmieniliśmy przygotowania cząstki, tylko zapis amplitudy.

Zadania do tego tematu

• Normalizacja wielomianu i odczyt w pierwszej ćwiartce
• Detektor ma szerokość: prawdopodobieństwo w oknie pomiarowym
• Zanikający ogon i fala płaska: który stan można znormalizować?

Dalsza lektura

Materiał referencyjny