Normalizacja wielomianu i odczyt w pierwszej ćwiartce

Rozwiązanie

Najpierw całkowite prawdopodobieństwo

Nie zakładamy równomiernego rozkładu. Mamy |ψ|²=A²x²(L−x)². Rozwinięcie nawiasu daje L²x²−2Lx³+x⁴, a całka od 0 do L wynosi L⁵(1/3−1/2+1/5)=L⁵/30. Z normalizacji:

A^2\frac{L^5}{30}=1,\qquad A=\frac{\sqrt{30}}{L^{5/2}}\approx0{,}96825\ \mathrm{nm^{-5/2}}.

Wartość liczbową podaliśmy dla x i L wyrażonych w nanometrach. Wtedy ψ ma jednostkę nm^−1/2. Wstawianie metrów do wzoru z takim liczbowym A bez przeliczenia jednostek zmieniłoby stan zamiast tylko jego zapisu.

Całka po pierwszej ćwiartce

Po podstawieniu u=x/L mamy dx=Ldu, więc czynniki długości się skracają:

P=30\int_0^{1/4}u^2(1-u)^2\,du=\left[10u^3-15u^4+6u^5\right]_0^{1/4}=\frac{53}{512}.

Odpowiedź: P≈0,10352, czyli 10,35%. Pierwsza ćwiartka leży blisko ściany, gdzie funkcja falowa i gęstość są małe. Sama długość przedziału nie wystarcza do wyznaczenia prawdopodobieństwa.

Sprawdzenie wyniku

Przez symetrię ostatnia ćwiartka ma takie samo prawdopodobieństwo. Dwie zewnętrzne ćwiartki dają 2·53/512=53/256. Dla środkowej połowy pozostaje 203/256. Suma wynosi jeden, a każde prawdopodobieństwo jest nieujemne. Zmiana samego L nie zmienia tych ułamków, jeśli pytamy o te same względne części przedziału.

Powiązana teoria

Funkcja falowa: jak obliczyć prawdopodobieństwo położenia?

Dalsza lektura

Materiał referencyjny