Siła magnetyczna działająca na przewodnik z prądem

Potrzebne wiadomości: Natężenie prądu, wektory i sinus kąta.

Dlaczego przewód doznaje siły?

Nośniki ładunku poruszające się w polu magnetycznym doznają sił Lorentza. Oddziaływanie to przekazują materiałowi przewodnika. Dla prostego odcinka w jednorodnym polu można zsumować ich wkład i otrzymać I l × B. Długość l nie oznacza dowolnego kawałka przewodu wybranego z całej instalacji: musi to być odcinek, którego ustawienie oraz pole opisujemy.

Kierunek warto rozwiązać przed rachunkiem

Przyjmijmy osie: x w prawo, y do góry kartki, z w stronę obserwatora. Kropka oznacza wektor wychodzący z kartki — widzimy grot strzałki. Krzyżyk oznacza wektor wchodzący w kartkę, jak widok na tył strzałki. Dla prądu w prawo i pola oznaczonego krzyżykami mamy l wzdłuż +x oraz B wzdłuż −z. Iloczyn wektorowy ma zwrot +y. Wartość siły będzie dodatnią liczbą, a zwrot dopiszemy słowami.

Jeżeli używasz reguły dłoni, sprawdź, czy odnosi się ona do umownego prądu czy do ruchu ujemnego ładunku. Wzór na przewód ma już wbudowaną konwencję prądu. Dodatkowe odwrócenie zwrotu „bo płyną elektrony” byłoby drugim, niepotrzebnym odwróceniem.

Skąd sinus kąta?

Rozkładamy wektor l na część równoległą i prostopadłą do B. Część równoległa nie wnosi nic do iloczynu wektorowego. Część prostopadła ma długość l sin α. Dlatego taki sam efekt jak cały ukośny przewód dałby odpowiednio krótszy przewód prostopadły do pola. Dla 30° ta skuteczna długość wynosi połowę l, a nie l/3.

Wartość i kierunek siły

Dla prostego odcinka przewodnika znajdującego się w jednorodnym zewnętrznym polu magnetycznym:

\vec F=I\vec l\times\vec B,\qquad F=IlB\sin\alpha.

I jest natężeniem, l — długością odcinka objętego polem, B — wartością indukcji magnetycznej, a α — kątem między kierunkiem umownego prądu i wektorem indukcji. Indukcję mierzymy w teslach. Jedna tesla odpowiada N/(A·m), co można sprawdzić z powyższego wzoru dla ustawienia prostopadłego.

Wektor l jest skierowany zgodnie z umownym prądem, nie zgodnie z ruchem elektronów w metalu. Siła jest prostopadła zarówno do l, jak i do B. Jej zwrot wyznacza reguła iloczynu wektorowego. Odwrócenie samego prądu albo samego pola odwraca siłę; odwrócenie obu nie zmienia jej zwrotu.

Przykład

Odcinek długości 0,20 m przewodzi prąd 2 A prostopadle do pola o indukcji 0,30 T. Siła wynosi 0,20 · 2 · 0,30 = 0,12 N. Jeżeli umowny prąd płynie w prawo na kartce, a pole jest skierowane w głąb kartki, siła działa ku górze kartki. Zapis osiowy daje ten sam wynik: x × (−z) = y.

Dla zakrzywionego przewodu lub niejednorodnego pola trzeba rozpatrywać poszczególne odcinki, zamiast stosować jeden kąt do całej konstrukcji. Zamknięta ramka w jednorodnym polu może mieć zerową siłę wypadkową, a mimo to doznawać momentu sił i obracać się. Nie należy również mylić zewnętrznego pola działającego na przewód z polem wytwarzanym przez ten sam przewód. To dwa odrębne elementy opisu.

Obrót przewodu i odwrócenie pola

Dla odcinka 0,20 m, prądu 2 A i pola 0,30 T maksymalna siła wyniosła 0,12 N. Jeśli kąt między przewodem i polem zmniejszymy do 30°, otrzymamy 0,12 N · sin 30° = 0,060 N. To połowa siły maksymalnej, mimo że 30° stanowi jedną trzecią 90°: zależność od kąta jest sinusowa, nie liniowa.

Wróćmy do prostopadłego ustawienia z prądem w prawo. Odwrócenie pola z kierunku w głąb na kierunek ku czytelnikowi zmienia siłę z górnej na dolną, ale nie zmienia jej wartości 0,12 N. Odwrócenie także prądu przywróci siłę ku górze. Przed rachunkiem da się więc rozstrzygnąć zwrot, a po rachunku sprawdzić jego niezależność od samej wartości sinusa.

Przypadki graniczne

Przy ustawieniu równoległym α = 0° i siła na ten odcinek jest równa zero. Przy ustawieniu prostopadłym α = 90° otrzymujemy wartość maksymalną IlB. W obliczeniu używamy długości części rzeczywiście znajdującej się w polu, nie automatycznie długości całego obwodu.

Siła nie musi przesuwać całej ramki

Dwa przeciwległe boki prostokątnej ramki mogą doznawać równych sił o przeciwnych zwrotach. Suma sił jest wtedy zerowa. Jeżeli ich linie działania są różne, tworzą jednak parę sił i mogą obracać ramkę. Właśnie dlatego stwierdzenie „wypadkowa zero” nie wystarcza do stwierdzenia pełnej równowagi bryły.

Warsztat: co można odtworzyć z pomiaru siły?

Wróćmy do przewodu o długości 0,20 m, z prądem 2 A w polu 0,30 T. Znamy już jego największą siłę: 0,12 N. Tym razem czujnik pokazuje wartość 0,060 N, a szukamy ustawienia. Dzielimy wynik przez maksimum i dostajemy sin α=0,50. To nie wyznacza jednego kąta z przedziału od 0° do 180°: pasuje zarówno 30°, jak i 150°. Nie znamy też płaszczyzny, w której leży przewód. Sam pomiar wartości siły nie odtwarza wszystkich trzech wymiarów ustawienia.

Możemy natomiast wykluczyć wynik 0,15 N w tym samym modelu. Wymagałby sin α=1,25. To sygnał, żeby sprawdzić długość odcinka w polu, wartość indukcji, prąd i inne siły działające na czujnik. Nie szukamy „kąta większego niż 90°”, który miałby sinus większy od jedności.

Dlaczego siła w silniku nie oznacza darmowej energii?

Magnetyczna część siły Lorentza na pojedynczy ładunek jest prostopadła do jego chwilowej prędkości. Nie należy z tego wyciągać wniosku, że przewód zasilany przez źródło nie może wykonywać pracy mechanicznej. W poruszającym się obwodzie trzeba uwzględnić także pola elektryczne, źródło i indukcję ruchu. Dla prostego odcinka prostopadłego do B, przesuwanego z szybkością v wzdłuż działającej na niego siły, wartość mechanicznej mocy wynosi Fv=BIlv. Odpowiada jej iloczyn prądu i SEM ruchu o wartości Blv. Dla omawianego odcinka i v=2 m/s są to 0,24 W oraz 2 A·0,12 V. W silnikowym układzie SEM ruchu przeciwdziała zasilaniu. Źródło musi dostarczać energię; dodatkowo pokrywa straty oporowe. To porównanie dotyczy określonej geometrii, a nie dowolnego przewodu poruszającego się w dowolną stronę.

Zadania do tego tematu

• Siła magnetyczna — zadanie: przewód w płaszczyźnie kartki
• Siła magnetyczna — zadanie: przewód ustawiony pod kątem

Dalsza lektura

Materiał referencyjny