Siła Lorentza: tor cząstki, ramka silnika i dwa przewody

Potrzebne wiadomości: Iloczyn wektorowy, ruch po okręgu i pole magnetyczne.

Cząstka w polu

Siła magnetyczna ma postać \vec F=q\vec v\times\vec B. Jej wartość to |q|vB\sin\theta. Jest prostopadła do prędkości, więc samo statyczne pole magnetyczne nie wykonuje pracy nad punktowym ładunkiem. Dla v prostopadłego do B tor w jednorodnym polu jest kołem: r=mv/(|q|B). Dodatkowa równoległa składowa prędkości tworzy ruch śrubowy.

Dla m=2·10⁻⁶ kg, |q|=10⁻⁴ C, v=3 m/s i B=0,20 T promień modelowy wynosi 0,30 m. Zmiana znaku q odwraca zwrot zakrzywienia, nie wartość promienia. Przy ruchu dokładnie wzdłuż pola siła magnetyczna znika.

Dlaczego koło, a nie coraz szybszy ruch?

Dla prędkości prostopadłej do jednorodnego B siła ma stałą wartość |q|vB i zawsze działa prostopadle do ruchu. Jej moc chwilowa F·v wynosi zero. Nie zwiększa więc energii kinetycznej, ale zmienia kierunek prędkości. Przyrównanie do mv²/r daje r=mv/(|q|B).

Dodatni ładunek lecący w prawo w polu skierowanym w głąb kartki jest odchylany w górę. Zmiana znaku ładunku odwraca siłę. Zmiana samej wartości masy przy tej samej szybkości nie odwraca toru; zwiększa promień.

Okres i ruch śrubowy

Pełny okrąg ma długość 2πr. Podstawiając promień do czasu obiegu, otrzymujemy:

T=\frac{2\pi r}{v}=\frac{2\pi m}{|q|B}.

W modelu nierelatywistycznym okres nie zależy od szybkości: szybsza cząstka ma proporcjonalnie większy okrąg. Dla m=2·10⁻⁶ kg, |q|=10⁻⁴ C i B=0,20 T wynosi około 0,628 s. Dodatkowa składowa równoległa do B nie jest zmieniana przez samo pole. W ciągu jednego obiegu przesuwa cząstkę o v∥T wzdłuż osi, tworząc śrubę.

Prąd i moment siły

Na prosty odcinek przewodu działa \vec F=I\vec l\times\vec B. Dwa przeciwległe boki prostokątnej ramki mogą doświadczać przeciwnych sił tworzących parę. Dla N zwojów moment ma wartość M=NISB\sin\theta, gdzie θ mierzymy między normalną do ramki a B. Komutacja lub zmienne zasilanie podtrzymuje korzystny zwrot momentu silnika; energię dostarcza źródło.

Dwa długie równoległe przewody z prądami zgodnymi przyciągają się, przeciwne odpychają. W próżni F/l=\mu_0I_1I_2/(2\pi d) co do wartości. Jest to model długich przewodów, nie opis dowolnej skończonej instalacji.

Moment ramki i źródło energii

Normalna jest prostopadła do płaszczyzny ramki. Gdy normalna jest równoległa do B, sin θ=0 i moment znika. Gdy płaszczyzna ramki jest równoległa do B, normalna tworzy 90° i moment jest największy. Odwrócenie tych dwóch zdań jest częstym błędem rysunku.

Siły na przeciwległych bokach mogą mieć zerową sumę, ale niezerowy moment, bo działają w różnych miejscach. Ramka może się obracać bez przyspieszania swojego środka masy. Ciągła praca silnika wymaga dopływu energii elektrycznej i odpowiedniej zmiany prądu lub pola; magnes nie jest paliwem.

Co porównujemy dla przewodów?

Wzór F/l podaje siłę na jednostkę długości. Dopiero pomnożenie przez długość wspólnego odcinka daje przybliżoną siłę, jeżeli efekt końców jest pomijalny. Zwiększenie odległości dwukrotnie zmniejsza tę wartość dwukrotnie, nie czterokrotnie jak w prawie Coulomba dla punktowych ładunków. Geometria źródeł jest inna.

Wyprowadźmy moment z dwóch sił i ich ramienia

Weźmy prostokątną ramkę o bokach a i b, z prądem I, w jednorodnym polu B. Oś obrotu przechodzi przez środek ramki i jest równoległa do dwóch boków o długości a. Pole jest prostopadłe do tych boków. Na każdy z nich działa siła o wartości F=IaB; zwroty są przeciwne. Do obliczenia momentu potrzebujemy odległości między liniami działania tych sił, nie dowolnego wymiaru ramki.

Niech θ oznacza kąt między normalną do powierzchni ramki a polem. W widoku wzdłuż boków a odległość między ich położeniami wynosi b, lecz prostopadła odległość między liniami sił wynosi d_F=b\sin\theta. Każda siła ma względem środka ramię d_F/2. Ich momenty dodają się, mimo że same siły się znoszą: M=2F\frac{d_F}{2}=F d_F=IaB\cdot b\sin\theta =ISB\sin\theta, gdzie S=ab. Dla N jednakowych zwojów otrzymujemy M=NISB\sin\theta. W tym obliczeniu M jest wartością momentu; zwrot obrotu trzeba ustalić osobno z kierunków prądu i pola.

Rachunek przez siły jako niezależna kontrola

Wybierzmy ramkę kwadratową: a=b=0,10 m, zatem S=0,010 m². Dla N=20, I=0,50 A i B=0,20 T całkowita siła na jednym z dwóch wybranych boków wynosi F_N=NIaB=20\cdot0{,}50\cdot0{,}10\cdot0{,}20 =0{,}20\,\mathrm{N}. Przy θ=30° odległość linii sił to 0,10 m · sin 30° = 0,050 m. Para daje M=0{,}20\,\mathrm{N}\cdot0{,}050\,\mathrm{m} =0{,}010\,\mathrm{N\,m}. Przy θ=90° odległość rośnie do 0,10 m i moment do 0,020 N·m. Otrzymaliśmy te same wyniki co z gotowego wzoru, lecz znamy już znaczenie każdego czynnika.

Przy θ=0° prąd i pole nadal mogą wywoływać niezerowe siły na wybranych bokach, ale ich linie działania pokrywają się: d_F=0. Nie ma wtedy momentu tej pary. Zerowego momentu nie należy więc wyjaśniać zawsze zniknięciem każdej siły. Z kolei przy największym momencie suma sił w jednorodnym polu nadal jest zerowa.

Ten wzór opisuje moment przy wskazanym ustawieniu, nie obiecuje pełnego obrotu bez przerwy. Po obrocie zmienia się kąt i zwrot oddziaływania. W silniku odpowiednia komutacja albo zmienne pole zapobiega temu, by w następnej części obrotu napęd stale hamował. Pracę mechaniczną i straty pokrywa energia dostarczana przez zasilanie.

Zadania do tego tematu

• Promień toru modelowego ładunku
• Największy moment działający na ramkę
• Oddziaływanie dwóch prostych przewodów

Dalsza lektura

Materiał referencyjny