Prąd przesunięcia i dopływ energii do kondensatora

Potrzebne wiadomości: Prawo Ampère’a, strumień elektryczny, pojemność kondensatora płaskiego, energia pola i pochodna po czasie; kierunek iloczynu wektorowego.

Dlaczego samo prawo magnetostatyczne nie wystarcza?

Otoczmy przewód ładujący kondensator zamkniętym konturem. Na tym samym konturze można rozpiąć płaską powierzchnię przecinającą przewód albo powierzchnię wybrzuszoną między okładki, omijającą przewód. Przez pierwszą przepływa prąd przewodzenia, przez drugą w idealnej próżniowej szczelinie nie. Lewa strona prawa Ampère’a jest jednak tą samą całką po tym samym konturze.

Nie jest to sprzeczność fizyczna: zastosowaliśmy magnetostatyczny wzór do zmieniającego się pola. W próżni prawo Ampère’a–Maxwella zawiera również pochodną strumienia pola elektrycznego przez wybraną powierzchnię S:

\oint_C\vec B\cdot d\vec l=\mu_0\left(I_{\mathrm{przew},S}+\varepsilon_0\frac{d\Phi_{E,S}}{dt}\right).

Orientację S i obieg C wiążemy regułą prawej dłoni. Oba składniki po prawej muszą odnosić się do tej samej powierzchni. Nie wolno dodać prądu przewodu z jednej powierzchni do pełnego prądu przesunięcia z innej i uzyskać podwojenia. Człon ε₀ dΦ_E/dt nazywamy prądem przesunięcia I_d; ma jednostkę ampera, ale nie oznacza przepływu elektronów przez próżnię.

Model i jego ograniczenia

Przyjmujemy okrągłe, równoległe okładki o promieniu a, odstęp d dużo mniejszy od a, próżnię w szczelinie i osiowo symetryczne doprowadzenie. Zmiany są powolne w porównaniu z czasem przejścia światła przez układ. Jest to przybliżenie quasi-statyczne: pomijamy opóźnienia, promieniowanie i szczegółowy rozkład przy krawędzi. Przy sinusoidzie potrzebujemy ωa/c dużo mniejszego od 1, gdzie c jest prędkością światła.

Dla skończonego kondensatora jednorodne E i ostre odcięcie pola na krawędzi nie są dokładnym rozwiązaniem wszystkich równań Maxwella. Poniższy bilans stanowi wiodące przybliżenie wąskiej szczeliny i wolnych zmian. W rachunkach używamy ε₀ = 8,85·10⁻¹² F/m oraz μ₀ ≈ 4π·10⁻⁷ H/m.

Z napięcia do prądu przesunięcia

Pole w szczelinie ma wartość E = U/d, a pole okładki A = πa². Pojemność C = ε₀A/d. Dla całego przekroju szczeliny:

I_d=\varepsilon_0A\frac{dE}{dt}=\frac{\varepsilon_0A}{d}\frac{dU}{dt}=C\frac{dU}{dt}.

Prąd przewodu dostarcza ładunek Q = CU, więc I = dQ/dt = C dU/dt. Otrzymaliśmy tę samą wartość dla pełnego przekroju szczeliny. To zapewnia zgodność obu sposobów wyboru powierzchni. Przy stałym U prąd przesunięcia jest zerowy, nawet jeśli samo E jest duże.

Mniejszy okrąg obejmuje mniejszą zmianę strumienia

Dla współosiowego okręgu o promieniu r < a w szczelinie strumień obejmuje pole πr². Nie wolno użyć od razu całego I:

I_d(r)=\varepsilon_0\pi r^2\frac{dE}{dt}=I\frac{r^2}{a^2}.

B(r)=\frac{\mu_0I}{2\pi a^2}r\quad(0\le r\lt a).

Pole rośnie od zera na osi. Przy krawędzi model daje B(a) = μ₀I/(2πa). Zwrot zależy od znaku pochodnej U. Jest to relacja między polami i prądami, nie dowód, że prąd przesunięcia jest odrębnym strumieniem cząstek ani że jedno równanie samo ustala przyczynę wszystkich pól.

Energia dociera również przez przestrzeń między przewodnikami

W próżni wektor Poyntinga opisuje gęstość strumienia energii elektromagnetycznej. Jego jednostką jest W/m²:

\vec S=\frac1{\mu_0}\vec E\times\vec B.

Gdy U > 0 rośnie, E jest skierowane od dodatniej okładki do ujemnej. Pole B obiega oś zgodnie z kierunkiem ładowania. Iloczyn E × B jest radialny i skierowany do wnętrza szczeliny. Nie mnożymy S przez pole okładki: w tym przybliżeniu energia wpływa przez boczną powierzchnię walca o polu 2πad.

P_{\mathrm{do\ pola}}=S(a)\,2\pi ad.

P_{\mathrm{do\ pola}}=\frac1{\mu_0}\frac Ud\frac{\mu_0I}{2\pi a}\,2\pi ad=UI.

Jeśli posługujemy się normalną skierowaną na zewnątrz, strumień ∮S·dA przy ładowaniu jest ujemny. Dodatnia moc wpływająca jest jego przeciwieństwem. Wartość UI zgadza się z bilansem obwodu, ale otrzymaliśmy ją przez pole w przestrzeni.

Ten sam wynik z energii elektrycznej

Gęstość energii pola elektrycznego to u_E = ε₀E²/2. Pole zajmuje w modelu objętość Ad:

W_E=\frac12\varepsilon_0E^2Ad=\frac12CU^2,\qquad \frac{dW_E}{dt}=CU\frac{dU}{dt}=UI.

W quasi-statycznym przybliżeniu pomijamy małą energię magnetyczną i poprawki do pól związane z opóźnieniem. Pełne twierdzenie Poyntinga uwzględnia zarówno energię elektryczną, jak i magnetyczną. Nie stosujemy tu relacji E = cB charakterystycznej dla pojedynczej biegnącej fali płaskiej: pola w pobliżu ładowanego kondensatora nie są taką falą.

Chwilowa moc może być ujemna, chociaż energia nie jest ujemna

Dla U(t) = U₀ sin(ωt) prąd wynosi I(t) = ωCU₀ cos(ωt). Iloczyn zawiera obie fazy:

P(t)=\frac{\omega CU_0^2}{2}\sin(2\omega t).

Średnia po pełnym okresie jest zerowa dla idealnego bezstratnego kondensatora. Przez część cyklu energia wpływa do pola, a przez część wraca. Energia W_E = CU²/2 nigdy nie jest ujemna. Nie wolno zastąpić U i I ich amplitudami lub wartościami skutecznymi i uznać iloczynu za średnią moc czynną. Trzeba uwzględnić przesunięcie fazowe.

Sprawdź rozumienie: w maksimum dodatniego U pochodna jest zerowa. Prąd i dopływ energii w tej chwili są zerowe, choć energia elektryczna jest maksymalna. Duża zgromadzona energia nie oznacza dużej chwilowej mocy ładowania.

Uzupełniająca lektura: wektor Poyntinga i energia pola w podręczniku OpenStax. Ogólna definicja S obowiązuje także w naszej próżniowej szczelinie, ale szczególne zależności dla biegnącej fali płaskiej wymagają innych warunków.

Zadania do tego tematu

• Prąd przesunięcia — zadanie: pole wewnątrz ładowanego kondensatora
• Prąd przesunięcia — zadanie: energia wpływająca przez bok szczeliny
• Prąd przesunięcia — zadanie: energia wraca do źródła

Dalsza lektura

Materiał referencyjny