Prąd przesunięcia — zadanie: energia wraca do źródła

Rozwiązanie

1. Prąd wyprzedza napięcie

I(t)=C\frac{dU}{dt}=\omega CU_0\cos(\omega t),\qquad\omega=2\pi f.

I_0=2\pi\cdot10^5\cdot20\cdot10^{-12}\cdot10\approx125{,}66\ \mathrm{\mu A}.

Podane 10 V to amplituda, nie wartość skuteczna. Prąd ma fazę przesuniętą o ćwierć okresu: przy maksymalnym napięciu jest zerowy.

2. Moc nie jest iloczynem amplitud

P(t)=\frac{\omega CU_0^2}{2}\sin(2\omega t).

P_{\max}\approx0{,}62832\ \mathrm{mW},\qquad\langle P\rangle=0.

Współczynnik 1/2 pochodzi z tożsamości sin x cos x = sin(2x)/2. Średnia sin(2ωt) po całym okresie jest zerowa. Iloczyn wartości skutecznych byłby niezerowy, lecz nie jest tu mocą czynną: trzeba jeszcze uwzględnić cosinus przesunięcia fazowego, równy zero.

3. Całka mocy odpowiada zmianie energii

W_{E,\max}=\frac12CU_0^2=1{,}00\ \mathrm{nJ}.

Okres wynosi 10 µs. Od t = 0 do T/4 = 2,5 µs napięcie rośnie od zera do 10 V i do pola wpływa 1,00 nJ. Wynik daje również całka dodatniej mocy w tym przedziale. Od T/4 do T/2 napięcie pozostaje dodatnie, lecz maleje, a prąd jest ujemny. Moc jest ujemna i dokładnie 1,00 nJ wraca do źródła.

W drugiej połowie cyklu napięcie ma przeciwny znak, ale energia zależy od U²: ponownie rośnie i maleje. W idealnym kondensatorze nie ma trwałego zużycia energii po całym cyklu. Rzeczywiste straty dielektryczne, rezystancja i promieniowanie zmieniłyby ten bilans; zostały wyłączone w założeniach.

Powiązana teoria

Prąd przesunięcia i dopływ energii do kondensatora

Dalsza lektura

Materiał referencyjny