32 odczyty, lecz tylko osiem niezależnych stanów
Liczba wzbudzeń w próbce ma znaną wariancję 18,75 i średnią 25. Zapisano 32 odczyty w ośmiu blokach. W każdym bloku cztery odczyty są identycznymi kopiami jednej obserwacji; między blokami obserwacje są niezależne i mają ten sam rozkład. a) Wyznacz odchylenie standardowe średniej z 32 zapisanych liczb. b) Porównaj je z wynikiem błędnie zakładającym 32 niezależne obserwacje. c) Czy kopie zmniejszają fizyczne fluktuacje próbki? Zaproponuj poprawną zmianę sposobu zbierania danych.
Pokaż rozwiązanieUkryj rozwiązanie
W tym zadaniu
Wskazówka
Zapisz średnią jako sumę ośmiu wartości, z których każda występuje cztery razy. Skróć czynnik 4 z mianownikiem 32.
Rozwiązanie
Najpierw upraszczamy samą średnią
Niech Y₁, …, Y₈ będą niezależnymi wartościami bloków. Średnia z pliku wynosi (4Y₁ + … + 4Y₈)/32 = (Y₁ + … + Y₈)/8. Zawiera więc dokładnie tyle informacji co średnia ośmiu niezależnych obserwacji. Nie musimy szacować czasu korelacji: zależność danych podano wprost.
Wariancja średniej
Wariancja sumy ośmiu niezależnych wartości wynosi 8 · 18,75. Dzielenie sumy przez 8 dzieli wariancję przez 8²:
\operatorname{Var}(\bar n)=\frac{18{,}75}{8}=2{,}34375,\qquad\sigma_{\bar n}\approx1{,}53093.
Błędny rachunek dla 32 niezależnych obserwacji dawałby √(18,75/32) ≈ 0,765466. Zaniża odchylenie średniej dwukrotnie, a jej wariancję czterokrotnie. Powielenie liczb nie dostarcza nowych niezależnych realizacji.
Co zmienić w doświadczeniu?
Fizyczne fluktuacje pojedynczej obserwacji nadal mają odchylenie √18,75 ≈ 4,33013. Można zebrać więcej niezależnych bloków lub zwiększyć odstęp między rzeczywistymi obserwacjami po sprawdzeniu zaniku korelacji. Samo zwiększenie częstotliwości zapisu nie wystarcza. Podane odchylenie średniej jest obliczone z modelu rozkładu, nie z ośmiu przykładowych wartości narysowanych na ilustracji; ilustracja nie jest zapisem przeprowadzonego pomiaru.
Powiązana teoria
Fluktuacje w równowadze: liczba cząstek, energia i niezależne obserwacje
Dalsza lektura
Najpierw spróbuj samodzielnie. Zapisz dane, wybierz prawa fizyczne i sprawdź jednostki. Przejdź do zadań ze sprawdzaniem odpowiedzi »
← Wróć do działu: Zadania Do góry ↑
Komentarze (0)
Nie ma jeszcze opublikowanych komentarzy. Rozpocznij rozmowę o tym materiale.
RSS komentarzy · Powiadomienia e-mail
Dodaj komentarz
Możesz komentować jako gość lub zalogować się, aby użyć danych konta. Utwórz konto