Który metal? Zadanie z tablicą gęstości i kartą wzorów
W pudełku leży jednorodna, pełna próbka jednego z trzech metali wymienionych w tabeli. Ma masę 135 g i objętość 50,0 cm³. Chcemy ją następnie ogrzać od 20°C do 60°C. Skorzystaj z tablicy danych i karty wzorów poniżej; nie trzeba pamiętać właściwości metali.
W tym zadaniu traktujemy podane wartości jako stałe. Pomijamy rozszerzalność próbki, zmianę ciepła właściwego z temperaturą i straty energii do otoczenia. Nie zachodzi przemiana fazowa. Dane służą do obliczenia modelowego, bez analizy niepewności pomiaru.
| Metal | Gęstość ρ [kg/m³] | Ciepło właściwe c [J/(kg·K)] |
|---|---|---|
| Aluminium | 2700 | 900 |
| Miedź | 8920 | 387 |
| Żelazo | 7860 | 452 |
| Zależność | Znaczenie symboli |
|---|---|
| \rho=\frac{m}{V} | ρ — średnia gęstość, m — masa, V — objętość |
| Q=mc\Delta T | Q — ciepło pobrane przez próbkę, c — stałe ciepło właściwe, ΔT — przyrost temperatury bez przemiany fazowej |
| p=\frac{F_\perp}{S} | p — średnie ciśnienie, F⊥ — siła prostopadła do powierzchni, S — pole tej powierzchni |
- Wybierz wzór pozwalający rozpoznać metal. Oblicz potrzebną wielkość w jednostkach zgodnych z tabelą i wskaż właściwy wiersz.
- Z tego wiersza odczytaj ciepło właściwe. Wybierz odpowiednią zależność z karty i oblicz ciepło potrzebne do ogrzania próbki. Podaj wynik w J i kJ.
- Uczeń podstawił do wzoru masę 135 i zmianę temperatury 313,15 K. Wyjaśnij osobno oba błędy.
- Czy sam pomiar gęstości zawsze wystarcza do rozpoznania dowolnego rzeczywistego materiału? Wskaż założenie, które umożliwia wybór w tym zadaniu.
Pokaż rozwiązanieUkryj rozwiązanie
W tym zadaniu
Rozwiązanie
1. Najpierw wybieramy kolumnę, potem liczbę
Znamy masę i objętość, więc pierwszą użyteczną zależnością jest ρ = m/V. Ciepło właściwe nie pomoże jeszcze wybrać metalu: nie zmierzyliśmy ani dostarczonego ciepła, ani wywołanej nim zmiany temperatury. Z kolei do ciśnienia potrzebowalibyśmy siły i pola powierzchni. Nie wybieramy wzoru tylko dlatego, że stoi obok w tabelce.
Nagłówek kolumny gęstości mówi kg/m³. Możemy od razu zamienić jednostki:
m=135\,\mathrm g=0{,}135\,\mathrm{kg},\qquad V=50{,}0\,\mathrm{cm^3}=50{,}0\cdot10^{-6}\,\mathrm{m^3}.
Centymetr jest setną częścią metra, ale centymetr sześcienny jest milionową częścią metra sześciennego. Stąd:
\rho=\frac{0{,}135}{50{,}0\cdot10^{-6}}\,\mathrm{kg/m^3}=2700\,\mathrm{kg/m^3}.
W tabeli tę wartość ma aluminium. Dla kontroli można policzyć w pierwszych jednostkach: 135/50,0 = 2,70 g/cm³. To również 2700 kg/m³. Liczby 2,70 nie porównujemy bezpośrednio z liczbą 2700, ignorując jednostki.
2. Przechodzimy w prawo w tym samym wierszu
Teraz odczytujemy c = 900 J/(kg·K). Nie bierzemy 2700 z kolumny gęstości ani 387 z wiersza miedzi. Jednostka c mówi, że ogrzanie jednego kilograma tego modelowego materiału o jeden kelwin wymaga 900 J.
Ogrzewamy ciało bez przemiany fazowej i przy stałym c, więc wybieramy Q = mcΔT. Temperatura zmienia się o 60°C − 20°C = 40°C. Różnica temperatur wynosi 40 K; nie dodajemy do niej 273,15.
Q=0{,}135\,\mathrm{kg}\cdot900\,\frac{\mathrm J}{\mathrm{kg}\,\mathrm K}\cdot40\,\mathrm K=4860\,\mathrm J=4{,}86\,\mathrm{kJ}.
Kilogramy i kelwiny się skracają, zostają dżule. Wynik dotyczy ciepła pobranego przez samą próbkę. W rzeczywistym urządzeniu energia dostarczona przez grzałkę mogłaby być większa, bo część ogrzałaby uchwyt albo otoczenie; tych strat treść każe nie uwzględniać.
3. Sprawdzamy wynik inną drogą
Pojemność cieplna całej próbki to mc = 0,135 · 900 = 121,5 J/K. Tyle potrzeba na podniesienie jej temperatury o jeden kelwin. Przyrost o 40 K wymaga 40 razy więcej, czyli ponownie 4860 J. To także pokazuje, dlaczego wynik nie może zależeć od samej temperatury końcowej: ogrzanie od 20°C do 60°C wymaga więcej ciepła niż ogrzanie tej samej próbki od 50°C do 60°C.
4. Dwa błędy, a nie jeden
Liczba 135 opisuje masę w gramach. Ponieważ c odczytaliśmy w J/(kg·K), do tego zapisu trzeba wstawić 0,135 kg. Użycie 135 zawyżyłoby wynik tysiąckrotnie. Można też pracować w gramach, ale wtedy c trzeba zapisać jako 0,900 J/(g·K). Jednostki muszą pasować do siebie.
Liczba 313,15 K powstaje z błędnego przeliczenia różnicy 40°C jak wartości temperatury. Poprawnie temperatury końcowa i początkowa wynoszą 333,15 K i 293,15 K. Po odjęciu znów otrzymujemy 40 K. Ten sam stały dodatek znika z różnicy.
5. Co naprawdę rozpoznaliśmy?
W tym modelu wybór jest jednoznaczny, bo wiadomo, że próbka jest pełna, jednorodna i wykonana z jednego z trzech wskazanych metali. Poza tym zadaniem sama zgodność gęstości nie stanowi dowodu składu chemicznego. Różne materiały mogą mieć zbliżone gęstości, a puste przestrzenie lub domieszki zmieniają średni wynik. Najpierw sprawdzamy warunki tabeli i zakres możliwych materiałów, dopiero potem wyciągamy wniosek.
Odpowiedź: aluminium w przyjętym modelu; ρ = 2700 kg/m³, c = 900 J/(kg·K), Q = 4,86 kJ. Kluczowy wybór z karty to kolejno ρ = m/V oraz Q = mcΔT.
Źródła danych i definicji
Zadanie i rozwiązanie są autorskie. Tablica zawiera wybrane wartości z poniższych zestawień; w obliczeniu przyjmujemy uproszczenia podane w treści.
Najpierw spróbuj samodzielnie. Zapisz dane, wybierz prawa fizyczne i sprawdź jednostki. Przejdź do zadań ze sprawdzaniem odpowiedzi »
← Wróć do działu: Zadania Do góry ↑
Komentarze (0)
Nie ma jeszcze opublikowanych komentarzy. Rozpocznij rozmowę o tym materiale.
RSS komentarzy · Powiadomienia e-mail
Dodaj komentarz
Możesz komentować jako gość lub zalogować się, aby użyć danych konta. Utwórz konto