Dobra energia, zła godzina maksimum

Rozwiązanie

Faza to liczba kroków razy kąt

Dla h = 0,25 s mamy q = 0,50, θ = 2arcsin 0,25 = 0,505360510 rad. Stąd ω_num = 2,021442041 rad/s i błąd po 20 s wynosi +0,428840823 rad. Układ numeryczny wyprzedza dokładny, więc powiązane z fazą zdarzenia występują z czasem za wcześnie.

Dla h = 0,125 s mamy q = 0,25, θ = 2arcsin 0,125 = 0,250655662 rad oraz ω_num = 2,005245299 rad/s. Błąd wynosi +0,104905974 rad. Tylko drobniejszy z tych dwóch kroków spełnia podaną tolerancję 0,15 rad. Stosunek błędów jest około 4,09, zgodnie z drugim rzędem dla dostatecznie małego kroku.

Dlaczego kontrola energii nie wystarcza?

W idealnym oscylatorze wszystkie fazy tego samego drgania mają tę samą energię. Numeryczny stan może więc leżeć blisko właściwej elipsy w przestrzeni (x; v), lecz być w złym jej miejscu. Ograniczony błąd energii Verleta nie zatrzymuje kumulacji fazy. Kryterium zależy od celu: do oszacowania amplitudy może wystarczyć inny krok niż do synchronizacji zdarzeń po 20 s.

Przybliżenie arcsin u = u + u³/6 + O(u⁵) daje ω_num = ω + h²ω³/24 + O(h⁴). To niezależnie wyjaśnia dodatni znak i wiodącą zależność błędu fazy od h²T. Nie należy usuwać fazy ręcznym przesunięciem wykresu i przedstawiać tak poprawionej ilustracji jako surowego wyniku metody.

Powiązana teoria

Oscylator w komputerze: Verlet, energia i uciekająca faza

Dalsza lektura

Materiał referencyjny