Ile daje podzielenie kroku przez dwa?
Dla m = 0,20 kg, b = 0,10 kg/s, g = 10 m/s² i v₀ = 0 wyznacz prędkość Eulera w T = 2 s dla h = 0,50; 0,25 i 0,125 s. Możesz użyć wynikającej z rekurencji zależności vN = 20[1 − (1 − h/2)N], N = T/h. Porównaj błędy ze wzorcem dokładnym. Który z tych kroków spełnia wymaganie błędu mniejszego niż 0,30 m/s? Sprawdź też ekstrapolację 2vh/2 − vh z dwóch najdrobniejszych siatek.
Pokaż rozwiązanieUkryj rozwiązanie
W tym zadaniu
Wskazówka
Każdy wynik ma dotyczyć 2 s. Wzorzec to 20(1 − e⁻¹), a warunek dotyczy bezwzględnego błędu prędkości.
Rozwiązanie
Ta sama chwila, różne liczby kroków
Liczby kroków wynoszą 4, 8 i 16. Otrzymujemy kolejno v = 13,671875; 13,127822; 12,878517 m/s. Dokładna wartość to 12,642411 m/s. Błędy bezwzględne wynoszą 1,029464; 0,485411; 0,236106 m/s. Przy ilorazach kolejnych błędów około 2,12 i 2,06 widać zbliżanie do przewidywanego czynnika 2 dla metody pierwszego rzędu.
Ze sprawdzanych trzech kroków dopiero h = 0,125 s daje błąd poniżej 0,30 m/s. Nie wynika stąd, że jest największym możliwym krokiem spełniającym warunek. Wszystkie trzy kroki były stabilne; kryterium dokładności wybrało spośród nich tylko jeden.
Usuwamy pierwszy składnik błędu
Jeżeli vh = v + Ch + O(h²), to 2vh/2 − vh = v + O(h²), bo Ch się skraca. Dla h = 0,25 s liczymy 2 · 12,878517391 − 13,127821684 = 12,629213 m/s. Błąd wynosi −0,013198 m/s. Jest mniejszy, lecz zmienił znak; ekstrapolacja nie jest nowym pomiarem ani gwarantowanym ograniczeniem błędu dla każdego kroku.
Gdy rozwiązania dokładnego nie znamy, różnica vh/2 − vh pomaga oszacować dominujący błąd drobniejszej siatki dopiero w zakresie, gdzie obowiązuje oczekiwany rząd. Potrzebna jest przynajmniej kolejna siatka i kontrola stabilności. Zbieżność liczb nie sprawdza prawdziwości przyjętego oporu liniowego.
Powiązana teoria
Spadanie liczone krok po kroku: Euler, błąd i stabilność
Dalsza lektura
Najpierw spróbuj samodzielnie. Zapisz dane, wybierz prawa fizyczne i sprawdź jednostki. Przejdź do zadań ze sprawdzaniem odpowiedzi »
← Wróć do działu: Zadania Do góry ↑
Komentarze (0)
Nie ma jeszcze opublikowanych komentarzy. Rozpocznij rozmowę o tym materiale.
RSS komentarzy · Powiadomienia e-mail
Dodaj komentarz
Możesz komentować jako gość lub zalogować się, aby użyć danych konta. Utwórz konto