Sztuczne odbijanie się od prędkości granicznej

Rozwiązanie

Jeden mnożnik porządkuje trzy przypadki

τ = 2 s. Dla h = 3 s mnożnik q = −0,5, więc odchylenia od 20 m/s to −20; +10; −5; +2,5 m/s. Prędkości po trzech krokach wynoszą 30; 15; 22,5 m/s. Odchylenie maleje co do wartości, ale zmienia znak. Metoda jest asymptotycznie stabilna dla tego równania, choć naprzemienne przekraczanie prędkości granicznej jest artefaktem.

Dla h = 4 s mamy q = −1. Prędkości to 40; 0; 40 m/s. Odchylenie zachowuje amplitudę 20 m/s; nie dąży do zera. To granica przedziału stabilności, a nie poprawne odtwarzanie oporu.

Dla h = 5 s mamy q = −1,5. Kolejne prędkości to 50; −25; 87,5 m/s. Bezwzględna wartość odchylenia rośnie o 50% w każdym kroku. Nawet niewielkie zaburzenie stanu byłoby powiększane.

Co naprawdę przewiduje model?

v(t) = 20(1 − e^−t/2) jest dodatnia dla t > 0, mniejsza od 20 m/s i rośnie monotonicznie. Nie zawiera odbicia ani siły sprężystej. Ujemna prędkość w trzecim obliczeniu oznacza więc niestabilność dyskretyzacji, nie odkrycie nowego zjawiska. Dla uniknięcia przekraczania v_g przy tym starcie trzeba 0 < h ≤ 2 s; dla dokładności zwykle potrzeba jeszcze znacznie mniejszego kroku.

Uwaga przy porównaniu tabel: trzeci stan oznacza odpowiednio 9, 12 i 15 s. Klasyfikację stabilności przeprowadziliśmy przez mnożnik, a nie przez bezpośrednie odejmowanie tych trzech stanów z różnych chwil.

Powiązana teoria

Spadanie liczone krok po kroku: Euler, błąd i stabilność

Dalsza lektura

Materiał referencyjny