Dlaczego dwóch zgodnych częstotliwości nie wolno liczyć jak niezależnych harmonicznych?

Rozwiązanie

1. Najpierw łączymy napięcia chwilowe

Korzystamy z cos(ωt + φ) = cos ωt cos φ − sin ωt sin φ. Dla φ = π/3 mamy cos φ = 1/2 i sin φ = √3/2. Otrzymujemy u(t) = 5 V cos ωt − 2√3 V sin ωt. To jedna częstotliwość opisana dwoma współczynnikami.

A=\sqrt{5^2+(2\sqrt3)^2}\,\mathrm{V}=\sqrt{37}\,\mathrm{V}\approx6{,}08276\,\mathrm{V}.

W zapisie A cos(ωt + φ) faza ma dodatni znak: cos φ = 5/√37, sin φ = 2√3/√37. Stąd φ ≈ +34,715°. Gdyby fazy źródłowych składników były przeciwne, zmieniłby się wynik; nie możemy ich odrzucić przed sumowaniem.

2. Liczymy wartość skuteczną sumy

Teraz mamy pojedynczą sinusoidę bez składowej stałej. Wolno więc podzielić jej amplitudę przez √2:

U_{sk}=\sqrt{37/2}\,\mathrm{V}\approx4{,}30116\,\mathrm{V},\qquad P=\frac{37}{2\cdot10}\,\mathrm{W}=1{,}850\,\mathrm{W}.

3. Ujawniamy wyraz mieszany

Suma oddzielnych wkładów kwadratowych wynosi (9 + 16)/(2 · 10) W = 1,250 W. Brakuje średniej 2u₁u₂/R. Po uśrednieniu jest ona równa AB cos(π/3)/R = 3 · 4 · 0,5/10 W = 0,600 W. Suma 1,250 + 0,600 = 1,850 W odtwarza poprawny wynik.

Ortogonalność różnych harmonicznych nie pozwala usunąć tego składnika, bo obydwa napięcia mają to samo ω. Zadanie opisuje ich sumę na jednym oporniku, nie dwa niezależne obwody z oddzielnymi odbiornikami.

Wynik: A ≈ 6,08276 V, φ ≈ +34,715°, U_sk ≈ 4,30116 V, P = 1,850 W; pominięty składnik to 0,600 W.

Powiązana teoria

Ortogonalność i twierdzenie Parsevala: wartość skuteczna oraz moc

Dalsza lektura

Materiał referencyjny