Brak rzeczywistego kąta załamania: popraw rysunek

Rozwiązanie

1. Sprawdzamy szkic prawem załamania

Przy przejściu ze szkła do powietrza światło załamuje się od normalnej. Narysowany przez ucznia kąt 70° jest większy od 50°, więc szkic może na pierwszy rzut oka wyglądać rozsądnie. Sama ta obserwacja jednak nie wystarczy: kąty muszą spełniać prawo załamania światła, nazywane też prawem Snelliusa.

Kąt padania oznaczamy przez α, a kąt załamania przez β. Najpierw zapisujemy równanie bez liczb:

n_1\sin\alpha=n_2\sin\beta.

Szukamy sin β, dlatego dzielimy obie strony przez n₂:

\sin\beta=\frac{n_1}{n_2}\sin\alpha.

Dopiero teraz podstawiamy dane:

\sin\beta=\frac{1{,}5}{1}\cdot 0{,}7660=1{,}149.

Sinus rzeczywistego kąta nie może być większy od 1. Nie istnieje więc kąt załamania spełniający to równanie — ani 70°, ani żaden inny. To nie awaria kalkulatora. Przy tych warunkach światło nie tworzy promienia biegnącego w głąb powietrza.

2. Dlaczego następuje całkowite wewnętrzne odbicie?

Sprawdźmy, gdzie przebiega granica między załamaniem a całkowitym odbiciem. Gdy kąt padania rośnie, promień załamany coraz bardziej zbliża się do powierzchni. W położeniu granicznym β = 90°, a sin 90° = 1. Prawo załamania przyjmuje zatem postać:

n_1\sin\alpha_{\mathrm{gr}}=n_2\cdot 1.

Dzielimy przez n₁ i obliczamy kąt graniczny:

\sin\alpha_{\mathrm{gr}}=\frac{n_2}{n_1}=\frac{1}{1{,}5}=\frac{2}{3},\qquad \alpha_{\mathrm{gr}}\approx 41{,}8^\circ.

Spełnione są oba potrzebne warunki: światło biegnie z ośrodka o większym współczynniku załamania do ośrodka o mniejszym współczynniku oraz α = 50° jest większe od α_gr. Zachodzi całkowite wewnętrzne odbicie.

Na poprawionym rysunku pozostawiamy granicę, normalną i promień padający. Usuwamy promień załamany w powietrzu. W szkle rysujemy promień odbity, symetryczny do padającego względem normalnej. Jego strzałka biegnie od granicy, a kąt odbicia wynosi α′ = α = 50°.

Kąt załamania β bywa również oznaczany literą r. W tym zapisie możemy podsumować wynik i wskazać różnicę między opisem promieniowym a falowym:

Równanie wymaga sin r≈1,149, co nie jest możliwe dla rzeczywistego kąta. Zachodzi całkowite wewnętrzne odbicie: rysujemy promień odbity w szkle pod 50° do normalnej, bez rozchodzącego się promienia w powietrzu. Kąt graniczny wynosi około 41,81°. W opisie falowym istnieje pole zanikające po drugiej stronie granicy, ale nie jest ono promieniem narysowanym przez ucznia.

3. Co zmienia padanie pod kątem 30°?

Ośrodki są te same, więc korzystamy z tego samego równania. Zmienia się tylko kąt padania:

\sin\beta=\frac{1{,}5}{1}\sin30^\circ=1{,}5\cdot0{,}5=0{,}75.

Tym razem wynik należy do dozwolonego zakresu. Szukamy kąta, którego sinus wynosi 0,75:

\beta=\arcsin(0{,}75)\approx48{,}6^\circ.

Na kalkulatorze służy do tego funkcja odwrotna do sinusa, zwykle oznaczona sin⁻¹. Nie oznacza ona tutaj liczby 1/sin β. Wynik 48,6° mierzymy od normalnej; od powierzchni byłoby to 90° − 48,6° = 41,4°.

Rysujemy promień załamany w powietrzu, dalej od normalnej niż promień padający. W szkle pozostaje również promień odbity pod kątem 30°. Odbicie może występować także poniżej kąta granicznego; dopiero powyżej niego jest całkowite.

4. Dlaczego nie wolno zamienić 1,149 na 1?

Wartość sin β = 1 oznaczałaby β = 90°, czyli dokładnie położenie graniczne. Dla naszych ośrodków wymaga ono padania pod około 41,8°, a nie pod 50°. Takie „zaokrąglenie” zmieniłoby warunki zadania i ukryło zjawisko, które mamy rozpoznać.

Wartość 1,149 nie mieści się w zakresie sinusa. Zastąpienie jej 1 opisałoby dokładnie warunek graniczny, którego w zadaniu nie ma. Nie jest to zwykłe zaokrąglenie błędu pomiarowego. Poprawny szkic dla 50° pozostawia odbicie wewnętrzne i nie rysuje propagującej wiązki w powietrzu; opis pola zanikającego wymaga osobnego modelu falowego.

Odpowiedź: dla 50° usuwamy błędny promień załamany i rysujemy odbity pod 50°. Dla 30° otrzymujemy załamanie pod około 48,6° oraz odbicie pod 30°. Wyniku sin β > 1 nie poprawiamy przez przycięcie go do 1.

Więcej o warunku granicznym: OpenStax, Total Internal Reflection.

Sprawdzenie samego kąta 70°

Możemy odrzucić szkic także bez wyznaczania kąta granicznego. Podstawmy do obu stron prawa załamania kąty narysowane przez ucznia:

n_1\sin50^\circ\approx1{,}149,\qquad n_2\sin70^\circ\approx0{,}940.

Wyniki nie są równe. Rysunek nie spełnia więc prawa załamania. To sprawdzenie odrzuca konkretnie kąt 70°; dopiero wcześniejszy wynik sin β > 1 wykazuje, że nie pasuje żaden rzeczywisty kąt załamania. Rozróżnijmy te dwa wnioski: „ten kąt jest zły” i „w tych warunkach nie ma promienia biegnącego w głąb powietrza”.

Powiązana teoria

Rysunek odbicia i załamania: kąt zawsze potrzebuje odniesienia

Dalsza lektura

Materiał referencyjny