Współczynnik załamania z kąta granicznego

Rozwiązanie

1. Odróżniamy kąt padania od kąta załamania

Na rysunku światło dochodzi do płaskiej powierzchni od środka materiału. Kąt α mierzymy między promieniem padającym a normalną. Kąt β leży po stronie powietrza, między normalną a promieniem załamanym.

Wraz ze wzrostem α promień załamany coraz bardziej odchyla się od normalnej. Kąt graniczny jest taką wartością kąta padania, dla której graniczne położenie promienia załamanego odpowiada β = 90°. To dlatego w rachunku pojawią się dwa różne kąty: 45° w materiale oraz 90° po stronie powietrza.

2. Wyprowadzamy wzór i podstawiamy dane

Prawo załamania dla kierunku materiał → powietrze ma postać:

n\sin\alpha=n_{\mathrm{pow}}\sin\beta.

Podstawiamy warunek graniczny α = α_gr, β = 90°:

n\sin\alpha_{\mathrm{gr}}=n_{\mathrm{pow}}\sin90^\circ.

Ponieważ sin 90° = 1, prawa strona upraszcza się do n_pow. Dzielimy teraz obie strony przez sin α_gr:

n=\frac{n_{\mathrm{pow}}}{\sin\alpha_{\mathrm{gr}}}.

Wstawiamy liczby dopiero do przekształconego wzoru:

n=\frac{1}{\sin45^\circ}\approx\frac{1}{0{,}7071}\approx1{,}414.

Współczynnik załamania wynosi około 1,414 i nie ma jednostki. Nie zapisujemy przy nim stopni. Stopnie są jednostką kąta, z którego skorzystaliśmy.

Wynik większy od 1 jest tu sensowny: światło w materiale porusza się wolniej niż w powietrzu. Z zależności n = c/v wynika v ≈ c/1,414. Większy współczynnik załamania nie musi oznaczać większej gęstości wyrażonej w kg/m³ — opisuje własność optyczną, a nie masę jednostki objętości.

3. Padanie pod 50° od strony materiału

Mamy n > n_pow oraz 50° > 45°. Są więc spełnione oba warunki całkowitego wewnętrznego odbicia. W materiale rysujemy promień odbity pod kątem 50° do normalnej. W powietrzu nie rysujemy promienia wychodzącego od granicy.

Możemy też sprawdzić ten wniosek rachunkiem. Gdyby promień załamany istniał, musiałby spełniać:

\sin\beta=\frac{n}{n_{\mathrm{pow}}}\sin50^\circ\approx1{,}414\cdot0{,}7660\approx1{,}083.

Wynik jest większy od 1, więc żaden rzeczywisty kąt β nie pasuje. Nie oznacza to, że światło znika: w przyjętym modelu wraca do materiału. Przy kątach mniejszych od 45° również może wystąpić odbicie, ale część światła przechodzi wtedy do powietrza.

4. Dlaczego od strony powietrza wynik jest inny?

Po zmianie kierunku ośrodki zamieniają się rolami. Teraz α leży w powietrzu, a β w materiale. Dlatego zapisujemy:

n_{\mathrm{pow}}\sin\alpha=n\sin\beta.

Dzielimy przez n:

\sin\beta=\frac{n_{\mathrm{pow}}}{n}\sin\alpha\approx0{,}7071\sin\alpha.

Dla kąta padania między 0° a 90° sinus nie przekracza 1. Po pomnożeniu przez 0,7071 otrzymamy więc co najwyżej 0,7071. Z tej strony granicy nie wystąpi całkowite wewnętrzne odbicie. Promień wchodzący do materiału załamuje się ku normalnej.

Gdy promień w powietrzu biegnie niemal równolegle do powierzchni, kąt załamania zbliża się do 45°. Te 45° jest teraz graniczną wartością kąta załamania w materiale, a nie kątem padania powodującym całkowite odbicie.

5. Jak rozpoznać to ustawienie w pracowni?

W szkolnym zestawie optycznym wąską wiązkę kierujemy przez środek O płaskiej ścianki półkrążka. Na zakrzywioną powierzchnię trafia ona wzdłuż promienia półkrążka, czyli prostopadle. Dzięki temu przy wejściu nie zmienia kierunku i możemy badać samo wyjście przez płaską ściankę.

Stopniowo zwiększamy kąt padania na płaską ściankę, stale kierując wiązkę do O. Obserwujemy, jak promień wychodzący zbliża się do powierzchni, a po przekroczeniu granicy przestaje być widoczny po stronie powietrza. Nie wystarczy zauważyć promienia odbitego — jest obecny także wcześniej. Odczyt powtarzamy, a kąt zawsze mierzymy od normalnej, nie od krawędzi półkrążka.

Odpowiedź: n ≈ 1,414; dla padania 50° z materiału otrzymujemy całkowite wewnętrzne odbicie pod 50°; dla przejścia z powietrza do tego materiału zjawisko to nie wystąpi.

Warunek i rysunki porównawcze omawia również OpenStax, Total Internal Reflection.

Jak dokładność odczytu kąta wpływa na n?

Wartość 45° podano w zadaniu jako daną modelową. W doświadczeniu odczyt ma ograniczoną dokładność. Załóżmy dla przykładu, że kąt graniczny mieści się między 44° a 46°. Dla tych kątów sinus rośnie, więc jego odwrotność maleje. Stąd:

\frac1{\sin46^\circ}\leq n\leq\frac1{\sin44^\circ},\qquad 1{,}390\lesssim n\lesssim1{,}440.

Przy takim odczycie nie uzasadnimy wyniku z pięcioma miejscami po przecinku. Rozsądny zapis to około 1,41, wraz z informacją o dokładności kąta. Dodatkowe cyfry z kalkulatora nie poprawiają pomiaru. Ten przedział nie jest nowym wynikiem części a), tylko analizą przykładowej niepewności doświadczenia; dla danych modelowych nadal n=√2.

Powiązana teoria

Pracownia: promienie, soczewki i całkowite wewnętrzne odbicie

Dalsza lektura

Materiał referencyjny