Superpozycja z plusem, z minusem i mieszanina

Rozwiązanie

Wspólna statystyka energii

W każdej sytuacji E₁ i E₂ występują z prawdopodobieństwem 1/2. Sam pomiar energii nie rozróżnia tych przygotowań. W superpozycjach zmieniliśmy względny znak jednego składnika. To nie jest globalne pomnożenie całej funkcji przez −1.

Położenie ujawnia różnicę

Gęstości superpozycji to (φ₁²+φ₂²)/2±φ₁φ₂. Mieszanina ma tylko pierwszy człon. Całka wyrazu mieszanego po lewej połowie wynosi 4/(3π), zatem:

P_+=\frac12+\frac{4}{3\pi}\approx0{,}92441,\quad P_-=\frac12-\frac{4}{3\pi}\approx0{,}07559,\quad P_{\mathrm{miesz}}=\frac12.

Średnia położenia

Każdy stan własny osobno daje ⟨x⟩=L/2. Dla wyrazu mieszanego podstawiamy u=x/L oraz iloczyn sinusów:

\int_0^L x\varphi_1\varphi_2\,dx=L\int_0^1u[\cos(\pi u)-\cos(3\pi u)]\,du=-\frac{16L}{9\pi^2}.

Całkowanie przez części korzysta z ∫u cos(au)du=u sin(au)/a+cos(au)/a². Po podstawieniu końców otrzymujemy:

\langle x\rangle_+=\left(\frac12-\frac{16}{9\pi^2}\right)L\approx0{,}31987L,\qquad \langle x\rangle_-\approx0{,}68013L.

Dla mieszaniny średnia pozostaje równa L/2. Oba wyniki superpozycji są symetryczne względem środka, co zgadza się z odbiciem ich gęstości. Średnie nie wyznaczają torów pojedynczych cząstek. Są cechami trzech różnych rozkładów, które można porównać przez wielokrotne przygotowanie i pomiar położenia.

Powiązana teoria

Superpozycja dwóch energii: co zmienia się w czasie, a co pozostaje stałe?

Dalsza lektura

Materiał referencyjny