Zanikający ogon i fala płaska: który stan można znormalizować?

Rozwiązanie

Całka dla zanikającego kształtu

Po obu stronach zera gęstość ma taki sam kształt. Dlatego:

\int_{-\infty}^{\infty}|Af(x)|^2\,dx=2A^2\int_0^\infty e^{-2x/a}\,dx=A^2a.

Zatem A=1/√a, o jednostce m^−1/2. Całka po środkowym przedziale daje:

P(|x|\lt a)=\frac{2}{a}\int_0^a e^{-2x/a}\,dx=1-e^{-2}\approx0{,}86466.

Prawdopodobieństwo poza tym przedziałem wynosi e⁻²≈0,13534. Ogon nigdy nie urywa się dokładnie, ale jego całka jest skończona. Około 86,47% wyników leży w odległości mniejszej niż a od początku osi.

Dlaczego fala płaska jest inna?

Dla rzeczywistego k moduł exp(ikx) jest równy jeden. Całka |A|² po całej nieskończonej osi rozbiega się dla każdego A≠0. Wybór A=0 dałby całkę zero, a nie jeden. Tego kształtu nie można znormalizować w zwykły sposób jako stanu jednej zlokalizowanej cząstki.

Nie wyrzucamy więc fal płaskich z teorii. Są użytecznymi stanami uogólnionymi i składnikami pakietów falowych. Skończone pudełko zmieniłoby zadanie normalizacji, ale byłoby innym układem. Również znormalizowany kształt f nie został tu uznany za stan o określonej energii: do takiego wniosku trzeba znać potencjał i właściwe warunki równania Schrödingera, także przy x=0.

Powiązana teoria

Funkcja falowa: jak obliczyć prawdopodobieństwo położenia?

Dalsza lektura

Materiał referencyjny