Detektor ma szerokość: prawdopodobieństwo w oknie pomiarowym

Rozwiązanie

Całkujemy gęstość

Funkcja jest znormalizowana, ponieważ całka sin²(πx/L) od 0 do L wynosi L/2. W oknie detektora:

P=\frac{2}{L}\int_{L/2-d}^{L/2+d}\sin^2\frac{\pi x}{L}\,dx=\frac{2d}{L}+\frac{\sin(2\pi d/L)}{\pi}.

W argumentach funkcji trygonometrycznych używamy radianów. Tutaj d/L=0,025, zatem P=0,05+sin(0,05π)/π≈0,099795. Detektor zarejestruje cząstkę z prawdopodobieństwem około 9,9795%.

Przybliżenie dla małego okna

W środku gęstość wynosi ρ(L/2)=2/L=0,50 nm⁻¹. Po przemnożeniu przez szerokość 2d=0,20 nm otrzymujemy P≈0,10000. To lekkie zawyżenie: poza samym środkiem gęstość jest już mniejsza od maksymalnej. Różnica wynosi około 0,000205, czyli 0,0205 punktu procentowego.

A jeden punkt?

Dla dokładnie x=L/2 przedział ma zerową długość, więc prawdopodobieństwo wynosi zero. Liczba 0,50 nm⁻¹ jest gęstością, nie prawdopodobieństwem tego punktu. Gdy d maleje do zera, oba obliczenia dla okna również zmierzają do zera. To kontrola, której nie przeszłaby odpowiedź utożsamiająca wysokość wykresu z prawdopodobieństwem.

Powiązana teoria

Funkcja falowa: jak obliczyć prawdopodobieństwo położenia?

Dalsza lektura

Materiał referencyjny