Reynolds — zadanie: dwa pomiary i umowny limit doświadczenia
W prostej rurce o średnicy wewnętrznej D = 2,0 mm wykonano dwa pomiary ustalonego przepływu wody modelowej: Q₁ = 0,50 ml/s i Q₂ = 5,0 ml/s. Przyjmij ρ = 1000 kg/m³ i η = 0,0010 Pa·s.
a) Oblicz średnie prędkości i liczby Reynoldsa. Oceń, co każdy wynik mówi o przydatności modelu laminarnego, bez traktowania granic przejścia jako ścisłego prawa. b) W tym konkretnym doświadczeniu przyjęto zachowawczy limit roboczy Re ≤ 1000. Jaki maksymalny Q spełnia ten umowny limit? c) Czy spełnienie limitu dowodzi rozwinięcia profilu tuż za wlotem?
Pokaż rozwiązanieUkryj rozwiązanie
W tym zadaniu
Wskazówka
Obie objętości przelicz na m³. Prędkość to Q podzielone przez pole πD²/4. Limit 1000 jest zadanym kryterium doświadczenia, a nie uniwersalną granicą turbulencji.
Rozwiązanie
1. Wspólne pole przekroju
Średnica D = 0,0020 m, więc A = πD²/4 = π·10⁻⁶ m². Natężenia to odpowiednio 0,50·10⁻⁶ i 5,0·10⁻⁶ m³/s. Dzieląc je przez pole, otrzymujemy:
\bar u_1\approx0{,}1592\ \mathrm{m/s},\qquad \bar u_2\approx1{,}592\ \mathrm{m/s}.
2. Ocena dwóch stanów
\mathrm{Re}_1=\frac{1000\cdot0{,}1592\cdot0{,}0020}{0{,}0010}\approx318,\qquad \mathrm{Re}_2\approx3183.
Pierwszy wynik jest wyraźnie poniżej typowego obszaru przejścia w rurze i przemawia za laminarnością. Drugi leży w obszarze wrażliwym na zaburzenia. Nie wolno na podstawie samej liczby 3183 ani gwarantować laminarności, ani twierdzić, że w każdych warunkach musi wystąpić w pełni turbulentny przepływ. Potrzebna jest informacja o wlocie, zaburzeniach i obserwowanym przepływie.
3. Obliczamy limit określony w zadaniu
Po połączeniu definicji Re z Q = πD²ū/4 dostajemy Q = Re·πηD/(4ρ). Dla umownego kryterium 1000:
Q_{\mathrm{limit}}=\frac{1000\cdot\pi\cdot0{,}0010\cdot0{,}0020}{4\cdot1000}\approx1{,}5708\cdot10^{-6}\ \mathrm{m^3/s}\approx1{,}571\ \mathrm{ml/s}.
Jest to maksymalne Q spełniające zadane kryterium liczbowe. Nie nazwalibyśmy go uniwersalną „maksymalną prędkością przepływu laminarnego”. Jednostka ml/s dodatkowo przypomina, że jest natężeniem, nie prędkością.
4. Co pozostaje do sprawdzenia?
Limit Re nie mówi, jak daleko od wlotu wykonano pomiar. Profil może nadal rozwijać się wzdłuż rury przy małej liczbie Reynoldsa. Do zastosowania prawa Poiseuille’a trzeba osobno ocenić odcinek wlotowy i pozostałe założenia. Zmniejszenie Re ułatwia pewne przybliżenia, lecz nie zamienia dowolnego krótkiego kanału w nieskończenie długą rurę.
Powiązana teoria
Liczba Reynoldsa i odcinek wlotowy: kiedy model laminarny wystarcza?
Dalsza lektura
Najpierw sprawdź, czy wolno użyć wzoru
Najpierw przewiduj: Zwiększaj różnicę ciśnień. Kiedy własna prognoza modelu przestanie spełniać warunki małej liczby Reynoldsa lub odpowiednio długiej rurki?
R = 1 mm, L = 1 m, η = 1 mPa·s, Δp = 100 Pa i ρ = 1000 kg/m³: Q ≈ 0,03927 ml/s, v średnia = 0,0125 m/s, Re = 25. Oszacowana długość wlotowa wynosi 0,0025 m.
Co oblicza model i gdzie kończą się jego założenia?
v(r)=\frac{\Delta p}{4\eta L}(R^2-r^2),\quad Q=\frac{\pi R^4\Delta p}{8\eta L}. Prędkość przy ściance jest zerowa, a średnia po przekroju równa połowie prędkości na osi. Przyjmujemy poziomą rurkę kołową, ciecz Newtonowską o stałej gęstości 1000 kg/m³ i lepkości, przepływ ustalony oraz w pełni rozwinięty.
Kontrola stosowalności korzysta z Re = ρvśr(2R)/η i oszacowania Lwlot ≈ 0,05 Re·2R. Przyjmujemy ostrożny warunek orientacyjny: Re < 2000 i Lwlot ≤ 0,1 L. Odcinek rozwijania profilu powinien zajmować niewielką część rurki, ponieważ powoduje dodatkowe straty ciśnienia. Ten próg nie oznacza błędu wyniku mniejszego niż 10% ani nie gwarantuje laminarności; zaburzenia i warunki wlotowe też mają znaczenie. Gdy próba nie przechodzi tej kontroli, ukrywamy profil jako niewiarygodną prognozę; Re jest wtedy tylko wartością wynikającą z testowanego modelu.
Najpierw spróbuj samodzielnie. Zapisz dane, wybierz prawa fizyczne i sprawdź jednostki. Przejdź do zadań ze sprawdzaniem odpowiedzi »
← Wróć do działu: Zadania Do góry ↑
Komentarze (0)
Nie ma jeszcze opublikowanych komentarzy. Rozpocznij rozmowę o tym materiale.
RSS komentarzy · Powiadomienia e-mail
Dodaj komentarz
Możesz komentować jako gość lub zalogować się, aby użyć danych konta. Utwórz konto