Zadanie 2 - kulki na niciach - oddziaływanie elektrostatyczne i grawitacyjne

Zakładamy że ładunek rozprowadził się równomiernie po kulkach, możemy to zrobić gdyż wiemy o kulkach że są jednakowe i przewodzące.


q=q_{1}+q_{2}=\frac{q}{2}+\frac{q}{2}


Rozpatrzmy jak wygląda sprawa oddziaływania:

F_{c}=\frac{kq_{1}q_{2}}{d^2}=\frac{k\cdot \frac{q}{2}\cdot \frac{q}{2}}{d^2}=\frac{kq^2}{4d^2}
Jest to siła Coulomba z którą pierwsza kulka przyciąga drugą ale też zgodnie z III zasadą dynamiki newtona siła którą druga przyciąga pierwszą (akcja - reakcja).

Ale zauważmy że kulki nie są nieważkie!
A więc występuje także oddziaływania grawitacyjne między kulką a ziemią (kulka ma niezerowy ciężar).
Kolejne więc oddziaływanie to oddziaływanie grawitacyjne:

Q_{1}=Q_{2}=mg
Skoro masa kulek jest równa to ciężar też.

Co więcej nie dość że mamy dwa oddziaływania to jeszcze istnieje między nimi związek! Żeby go zobrazować posłużę się rysunkiem:


Jak widzimy istnieją geometryczne/trygonometryczne związki między tymi dwoma siłami oraz między dwoma wielkościami skalarnymi, widoczne na rysunku:

\frac{F_{c}}{Q}=\tan \alpha =\frac{\frac{1}{2}d}{h}
Można też to sobie tłumaczyć inaczej, po prostu jako proporcję – siła coulomba jest proporcjonalna do „h” natomiast ciężar jest odwrotnie proporcjonalny.

Natomiast h, które jest dla nas nieznane możemy wyliczyć z prostego związku zwanego twierdzeniem pitagorasa:
h^2+(\frac{d}{2})^{2}=l^2

Przekształcamy go aby otrzymać wielkość h i podstawić ją do związku między siłami opisanego dwa równania wyżej.
h=\sqrt{l^2-\frac{d^2}{4}}

Aby policzyć ładunek „q” którym początkowo naładowano połączone kulki, musimy teraz tylko pobawić się w przekształcania wzorów:
\frac{F_{c}}{Q}=\frac{\frac{1}{2}d}{\sqrt{l^2-\frac{d^2}{4}}}


\frac{d}{2\sqrt{l^2-\frac{d^2}{4}}}=\frac{F_{c}}{Q}=\frac{k\frac{q^2}{4d^2}}{mg}=\frac{kq^2}{4d^2mg}

Po dalszych przekształceniach:
\frac{d}{2\sqrt{l^2-\frac{d^2}{4}}}=\frac{kq^2}{4d^2mg}



2q^2k\sqrt{l^2-\frac{d^2}{4}}=4d^3mg

Teraz już tylko wyznaczamy „q” i po kłopocie:

q=\sqrt{\frac{4d^3mg}{2k\sqrt{l^2-\frac{d^2}{4}}}}=4d \sqrt{\frac{\pi \varepsilon_{0} dmg}{\sqrt{4l^2-d^2}}}


Jeżeli są jakieś pytania, napisz komentarz.