Prawo Gaussa — zadanie: strumień przez sześcian w niejednorodnym polu

Rozwiązanie

1. Normalna ustala znak

Pole ściany to a² = 0,040 m². Po lewej Eₓ = 150 V/m, po prawej 250 V/m. Normalna lewej ściany jest przeciwna do pola, a prawej zgodna:

\Phi_{\mathrm{lewa}}=-150\cdot0{,}040=-6{,}0\ \mathrm{V\,m},

\Phi_{\mathrm{prawa}}=250\cdot0{,}040=10{,}0\ \mathrm{V\,m}.

Na czterech pozostałych ścianach pole jest styczne i iloczyn skalarny wynosi zero. Nie mnożymy 250 V/m przez pole wszystkich ścian.

2. Ładunek z sumy strumieni

\Phi_E=-6{,}0+10{,}0=4{,}0\ \mathrm{V\,m}.

Q_{\mathrm{wew}}=\varepsilon_0\Phi_E=3{,}54\cdot10^{-11}\ \mathrm C=35{,}4\ \mathrm{pC}.

Ładunek jest dodatni, ponieważ więcej strumienia wychodzi niż wchodzi. Jednostki: (F/m)·(V·m) = F·V = C.

3. Przesunięcie zmienia oba wkłady

Nowe ściany leżą przy 0,50 m i 0,70 m. Pole wynosi 350 i 450 V/m, więc wkłady to −14,0 i +18,0 V·m. Suma nadal wynosi 4,0 V·m, a ładunek 35,4 pC.

\Phi_E=[E_x(x+a)-E_x(x)]a^2=\beta a^3.

Stały składnik E₀ i położenie początku znikają z różnicy. Gęstość ładunku wynosi ρ = ε₀β = 4,425·10⁻⁹ C/m³. Pomnożenie przez objętość 0,0080 m³ niezależnie daje 35,4 pC. Niezmienność wynika z liniowej zależności Eₓ od x; dla dowolnego pola nie musi zachodzić.

Powiązana teoria

Strumień elektryczny i prawo Gaussa: co wynika z symetrii?

Dalsza lektura

Materiał referencyjny