Prąd przesunięcia — zadanie: energia wpływająca przez bok szczeliny

Rozwiązanie

1. Pola i prąd w tej samej chwili

C = ε₀πa²/d ≈ 44,485 pF. Pole elektryczne wynosi E = U/d = 1,20·10⁵ V/m. Z pochodnej napięcia otrzymujemy:

I=C\frac{dU}{dt}\approx88{,}970\ \mathrm{\mu A},

B(a)=\frac{\mu_0I}{2\pi a}\approx0{,}44485\ \mathrm{nT}.

2. Strumień energii i pole boczne

E i B są prostopadłe. Wartość wektora Poyntinga przy brzegu wynosi:

S(a)=\frac{EB(a)}{\mu_0}=42{,}48\ \mathrm{W/m^2}.

Boczna powierzchnia ma pole 2πad ≈ 2,5133·10⁻⁴ m². Energia wpływa do wnętrza:

P_{\mathrm{do\ pola}}=S(a)\,2\pi ad\approx10{,}676\ \mathrm{mW}.

Strumień ∮S·dA z normalną na zewnątrz ma wartość −10,676 mW. Minus opisuje dopływ, a nie ujemną zgromadzoną energię.

3. Dwie niezależne kontrole bilansu

Iloczyn UI = 120 V·88,970 µA ≈ 10,676 mW zgadza się z całką strumienia. Pochodna energii to CU dU/dt, więc otrzymujemy tę samą moc. Natomiast sama energia wynosi:

W_E=\frac12CU^2\approx0{,}32029\ \mathrm{\mu J}.

Nie porównujemy liczbowo 0,32029 µJ z 10,676 mW bez uwzględnienia czasu. Jeżeli od zera U rosło z podaną szybkością, dojście do 120 V trwało 60 µs. Moc rosła liniowo od zera do wartości końcowej; średnio była o połowę mniejsza. Iloczyn średniej mocy i 60 µs daje właśnie 0,32029 µJ. Pomijana energia magnetyczna oraz efekty brzegowe ograniczają dokładność modelu.

Powiązana teoria

Prąd przesunięcia i dopływ energii do kondensatora

Dalsza lektura

Materiał referencyjny