Cztery odczyty stopera: wyznacz g i promień bezwładności
Dla tej samej bryły zebrano następujące dane ćwiczeniowe. t₂₀ oznacza czas 20 pełnych okresów; h jest odległością od środka masy do jednej z równoległych osi zawieszenia. Amplitudy są małe.
| h (m) | t₂₀ (s) |
|---|---|
| 0,100 | 28,36 |
| 0,200 | 25,36 |
| 0,300 | 26,40 |
| 0,400 | 28,36 |
Oblicz T, X = h² i Y = T²h. Dopasuj prostą Y = aX + b zwykłą metodą najmniejszych kwadratów, a następnie wyznacz g oraz k. Nie wymuszaj przejścia prostej przez początek. Jest to ćwiczenie rachunkowe z zadanych liczb; nie wyznaczaj niepewności prawdziwego pomiaru wyłącznie z ich rozrzutu.
Pokaż rozwiązanieUkryj rozwiązanie
W tym zadaniu
Wskazówka
Po podzieleniu czasów przez 20 oblicz nowe współrzędne. Możesz użyć a=\sum(X_i-\overline X)(Y_i-\overline Y)/\sum(X_i-\overline X)^2 oraz b=\overline Y-a\overline X. Zachowaj cyfry robocze przy podnoszeniu T do kwadratu.
Rozwiązanie
1. Przekształcamy każdy odczyt
Okres jest równy t₂₀/20. Nie podnosimy całego czasu 20 drgań do kwadratu zamiast T²: dałoby to czynnik 400 w Y. Wyniki robocze są następujące:
| T (s) | X (m²) | Y (m·s²) |
|---|---|---|
| 1,418 | 0,0100 | 0,2010724 |
| 1,268 | 0,0400 | 0,3215648 |
| 1,320 | 0,0900 | 0,5227200 |
| 1,418 | 0,1600 | 0,8042896 |
2. Dopasowanie z wyrazem wolnym
Średnia X wynosi 0,0750 m². Podstawienie do wzorów z podpowiedzi daje a\approx4{,}02178\ \mathrm{s^2/m} oraz b\approx0{,}160778\ \mathrm{m\,s^2}. Małe odchylenia punktów od prostej wynikają już z zaokrągleń podanych czasów. Nie są wystarczającą podstawą do deklarowania dokładności laboratoryjnej.
3. Interpretacja parametrów
g=\frac{4\pi^2}{a}\approx9{,}816\ \mathrm{m/s^2},\qquad k=\sqrt{\frac ba}\approx0{,}19994\ \mathrm m.
Rozsądne zaokrąglenie wyników tego ćwiczenia to g ≈ 9,82 m/s² i k ≈ 0,200 m. Jednostka b/a jest m². Nie można brać pierwiastka z samego b i nazywać wyniku długością.
4. Kontrola fizyczna
Dwa skrajne h dają takie samo T, a ich iloczyn 0,100 · 0,400 = 0,0400 m² jest bliski wyznaczonemu k². To niezależna kontrola interpretacji. Dodatni wyraz wolny zgadza się z niezerowym momentem centralnym. Wymuszenie b = 0 nie byłoby „uproszczeniem regresji”, lecz zastąpieniem bryły modelem punktowym. W rzeczywistym doświadczeniu analiza niepewności musi ponadto uwzględniać błędy h w obu współrzędnych i wspólne wyznaczenie C.
Powiązana teoria
Zmierz g wahadłem fizycznym: dlaczego wykreślamy T²h względem h²?
Dalsza lektura
Od okresu do prostego wykresu
Najpierw przewiduj: Zapisz T i h dla trzech zawieszeń. Oblicz T²h i h²: dlaczego te punkty układają się na prostej? To przewidywania modelu, nie pomiary.
Pręt o długości 1 m, zawieszony na końcu: h = 0,5 m, I/m = 1/3 m². Przy g = 9,81 m/s² okres wynosi około 1,638 s.
Co oblicza model i gdzie kończą się jego założenia?
Przy małych wychyleniach T=2\pi\sqrt{\frac{I_{\rm cm}/m+h^2}{gh}}. Dla pręta Icm/m = L²/12, dysku R²/2, a cienkiej obręczy R². Oś pozostaje w obrębie bryły. Suwak położenia osi podaje ułamek maksymalnego h: L/2 dla pręta oraz R dla koła. Nie jest bezpośrednio odległością w metrach.
Wykres pokazuje T(h). Minimum wypada przy h = √(Icm/m). Zbliżanie osi do środka masy osłabia moment siły przywracającej; dla h → 0 okres rośnie bez ograniczenia. Sam punkt h = 0 nie opisuje takiego wahadła i nie jest dostępny. Animacja używa amplitudy 10°, przybliżenia małych kątów i stałego g = 9,81 m/s². Pomija tarcie, podatność zawieszenia oraz opory powietrza.
Dodatkowo T²h = (4π²/g)h² + (4π²/g)(Icm/m). Podane pod wykresem wartości pozwalają zbudować prostą na papierze. Masa skraca się tylko wtedy, gdy porównujesz tę samą geometrię rozkładu masy.
Najpierw spróbuj samodzielnie. Zapisz dane, wybierz prawa fizyczne i sprawdź jednostki. Przejdź do zadań ze sprawdzaniem odpowiedzi »
← Wróć do działu: Zadania Do góry ↑
Komentarze (0)
Nie ma jeszcze opublikowanych komentarzy. Rozpocznij rozmowę o tym materiale.
RSS komentarzy · Powiadomienia e-mail
Dodaj komentarz
Możesz komentować jako gość lub zalogować się, aby użyć danych konta. Utwórz konto